Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Monge behandelt 1 ) durch sukzessive Ordnungserniedrigung einenweiteren Typus, welcher allgemeiner Behandlung zugänglich ist, näm-lich die Gleichung

x m

3 m zdx m

4- nix m ~

!l

ö m ~ l dz

dx m ~\ly

m

x”‘~- tj

d"‘ ~ 2 ddzdx m ~-dy°-

•• = (.)

mit dem Integral

Z = f ( X !/ ) + 11 f ' (f) + 'W (y ) + • ' • + ly ) ••

wo f, f, f", . . . qr willkürliche Funktionen bedeuten. Monge sagt:Setzt man

, f’b , . 1N „ 3 w ~ s dzdx™- 1 J dx m ~ i d y

■ = V,

so ergibt sich mit Benutzung der vorgelegten Differentialgleichung

also

Dann ist

r-r-wQ-

dx'

als integrale premiere der gegebenen Gleichung aufzufassen und kannebenso weiter behandelt werden, ohne daß durch die willkürlicheFunktion (f die Integration erschwert würde. Weiterhin behauptetMonge, daß

z — k

das endliche und „vollständige' 1 Integral von

||- =G + J{

sei, wenn z = g bzw. z = k die endlichen vollständigen Integrale von1F= G bzw. IF = K seien, wo 1F, G, K Ausdrücke obiger Artsind. Mit Hilfe dieser Regel sucht er dann Gleichungen

II' + A V -p Ji 1" -i-- K

*) Miscellanea Tauriuensia, t. Y s , 177073, p. 04. Auch hei Condorcet fiudet sich in einem Aufsatz über partielle Differentialgleichungen Histoire del’Academie des Sciences 1770 (1773), p. 151 tf. die Schreibweise o"d"‘X, wo mitd die Differentiation nach x , mit c diejenige nach y angedeutet ist. Siehe auchebenda 1772, part. 1 (1775), p. 14. 5 ) Ebenda (Mise. T.), t. V s , 1770/73, p. HO.