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Abschnitt XXVII.

mit dein integrale complete

z = xi’(ax — y) + x(ax — //).

Monge erhält endlich die beiden simultanen Gleichungen

// = ax + q{a) und z = xi<(a) + x (a),

aus denen man sich a eliminiert zu denken hat. Nach einer Bemer-kung, wie die einzelnen Wurzeln der erwähnten totalen Gleichungendes allgemeinen Falles zu kombinieren sind, wenn jede dieser Glei-chungen ungleiche Wurzeln besitzt, weist Monge darauf hin, daßseine Methode auch auf Gleichungen höherer Ordnung anwendbar istund nennt den ihr zugrunde liegenden Gedankengang la veritablemetaphysique du calcul aux differences partielles. 1 )

Legendre verwandelt 2 ) die spezielle Gleichung 3. Ordnung, inwelcher die abhängige Variable r höchstens einmal nach y difteren-tiiert auftritt, durch die Transformation

in eine Gleichung 2. Ordnung, wobei p eine einfache Differential-gleichung zu erfüllen hat.

© ©

Trembley hat außer der Gleichung 1. und 2. Ordnung auch

diejenige 3. Ordnung aus dem gegebenen Integral konstruiert. 3 ) Ei-se tzt

z = II (x, y ) ■ F( <P(x, ?/)),

wo unter F eine willkürliche Funktion zu verstehen ist. Indem er

aus den partiellen Ableitungen von z die allgemeine Gleichung3. Grades bildet, welche diese Ableitungen nur in der ersten Potenzenthält, bekommt er vier Bedingungsgleichungen, von deren Erfüllt-sein das Bestehen der Differentialgleichung 3. Ordnung bzw. der an-genommenen Integralgleichung abhängt. Die eine dieser Bedingungs-

vom 3. Grade und

gleichungeu ist hinsichtlich der Unbekannten© ©

*) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 i'1787'i, p. 158. Es mag hiernoch die Gleichung

\ /d 8 *) _ / d> z \ I d z z \) \dy > ) '.dx^dy) 'dxdy*)

d s z

dx*

*) Ebenda 1787

erwähnt werden, die ebenda p. 567 kurz besprochen ist.

(178‘J), p. 332. *) Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XIII, 1795/96 (1802/

p. 101 ff. Aus dem Jahre 1798.