Totale und partielle Differentialgleichungen.

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liefert somit drei Werte von <P, die </>', <P"' heißen mögen. Hier-

mit ergibt sich das Integral

z = ir- hW) + jr-f(n>") + ir • </>'"),

wo F, f, ü willkürliche, II', 11", 11" passend zu bestimmende Funk-tionen sind. Die Methode hat den Nachteil, daß von vornherein nichtzu ersehen ist, ob ein Integral der angenommenen Form existiert;trotzdem scheut Trembley nicht vor der Berechnung der kompli-ziertesten Ausdrücke und Formeln zurück.

Cousin ist, indem er die oben erwähnten Untersuchungen inanderer Richtung weiter verfolgte, zu einem Theorem über die Inte-gration der allgemeinen im Mongeschen Sinne linearen Gleichungji ,er Ordnung gekommen 1 ), das die Integrationsvorschriften von Mongefür die Gleichung 1., 2. und 3. Ordnung als Spezialfälle umfaßt. Sei

dy n ~dx

+ I*

wo u, ß, y, ... t, t Funktionen von x, //, s und den partiellen Ab-geleiteten von z, die der (n — l) teu Ordnung einschließlich, bedeuten.Man berechne die Wurzeln der Gleichung

am n -\- ßm n ~ l + ym”~ i -\- ••• + £ = (I

rvgl. Eulers homogene Gleichung S. 1017) und bilde die Größen

am -f- ß = «/.; u /. m + y = au; uu m — d = av

usw. Dann ergeben sich alle Integrale der ursprünglichen partiellenGleichung durch Integration folgender beiden totalen Gleichungen

mdy dx 0 und um (dp + /. d q + udr + vds +••■') + rdx = 0,

die Differentialquotienten (n — l) ,er Ordnung

bedeuten. Cousin betrachtet sodann speziell diejenige

dij n ~-dx

Gleichung, welche keine Produkte oder Potenzen von Differential-quotienten enthält, in der also sämtliche Abgeleitete linear auftreten;er bezeichnet sie als lineare Gleichung, während Monge dabei nurdas Linearsein der Derivierten « ter Ordnung fordert.

Zu den frühest behandelten Differentialgleichungen vonmehr Variablen und höherer Ordnung — die 1. Ordnung sind

') Histoire de l’Academie des Sciences 1783 (1786;, p. 088ff. Im Text istdie Darstellung von ebenda 1784 17871, p. 407 zugrunde gelegt.