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Abschnitt XXVII.

bereits an Ort und Stelle besprochen worden — gehören die Grund-gleichungen der Hydrodynamik. Euler gibt, wie schon erwähnt, ineinem Brief an Lagrange die Gleichung

(ddu\ iddu\ jddu\ , /

W } = \dx v + l/yd l,

! )

an und sucht partikuläre Lösungen von ihr aufzufinden. 1 ) Lagrangesucht fernerhin die allgemeinen hydrodynamische* Gleichungen inihrer Lagrangeschen Form zu integrieren. 2 ) Durch Einführung derMultiplikatoren L, M , JV, wo L, M, X Funktionen der drei Variablen(changeantes) X, Y, Z bedeuten, Addition und Integration über denvon der Flüssigkeit eingenommenen Raum erhält er zunächst dieGleichung

M +“ lt ‘X) dXd Yd Z

d-z

dXdZ

dXd y

d Yd X

N) i/Xd YdZ.

d YdZ

dZdX

dZd Y

= c

Die hier auftretenden dreifachen Integrale werden durch partielleIntegration umgeformt, so daß z. B.

f f* t LdXJ YdZ = j

d*L

X dX*

d Xd YdZ + /(

usw.

Lagrange zeigt, daß unter gewissen Bedingungen, die allerdings inden meisten Fällen nicht angebbar sein werden, alle auftretendenDoppelintegrale (Oberflächenintegrale) zum Verschwinden gebrachtwerden können und reduziert dann durch die Festsetzungen

d-L d-M , d'-X d- M , d-L d i X

dXZ + dXdY ' r dXdZ ~ A ' jL; d Y- + d YdX + d YdZ

d'-X d i L , d*MdZ ! ' dZdX ^ dZd'Y

und die Substitution

f (xL -r yM + zN) dXd YdZ

— das Integral genommen über den von Flüssigkeit erfüllten Raum —die ursprüngliche Gleichung auf

l ) Miscellanea Taurinensia, t. II S , 1760/61, p. i —10. Vgl. auch Histoire

de l’Aeademie de Berlin, t. XV, 1759 (1766), p. 236 if. *) Miscellanea Tauri-

nensia, t. II-, p. 120. Mit Benutzung von Burkhardt, a. a. 0., Heft 2, S. 365.