Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Bestimmt man daraus s und berücksichtigt die physikalischen An-fangsbedingungen für t = 0, so läßt sich damit, wie Lagrange an-deutet, die Berechnung von x, y, z auf die an einfacheren Differential-gleichungen 2. Ordnung auseinandergesetzteu Methoden zurückführen.Die Berechnung von L, M, K gelingt Lagrange nur in speziellenFällen; so führt die Annahme

A = 1 + rZ ) F*- ff/ — + ?r ’ + rz) K*. 3’ = Cet-px + i 1 + rX )V^

auf die Gleichungen

A = c (Ajr + Bpq + Cpr)- B = c(Bq 1 -)- Apq -f Crq);

C = c (XV 8 + Apr + Bqr)

zur Bestimmung von p, q, r. Schließlich 1 ) sind noch Keihenentwick-lungen abgeleitet, die jedoch sehr viel Kaum einnehmen.

Unter allgemeinen Gesichtspunkten sucht die Gleichungen vonmehr Variablen zuerst Euler zu behandeln. Er macht auch daraufaufmerksam, daß bei drei unabhängigen Variablen die willkür-liche Funktion der Integralgleichung eine Funktion von zwei Variablenist. 8 ) Er unterscheidet verschiedene Typen, die einer gleichartigenBehandlung zugänglich sind. Ist eine einzige Derivierte von v einerbeliebigen Funktion der unabhängigen Variablen gleichgesetzt, sofindet man das Resultat, indem man bei jeder Integration alle Ver-änderlichen bis auf eine konstant läßt und die Integrationskonstantendurch willkürliche Funktionen dieser Variablen ersetzt. Die Anzahlder willkürlichen Funktionen, bemerkt Euler ausdrücklich, ist immergleich der Ordnung der Differentialgleichung. Ist weiterhin die Diffe-rentialgleichung von der Art, daß sie nur die Ableituug nach ein undderselben Variablen, etwa x enthält, so kann mau wieder die übrigenVeränderlichen als konstant ansehen und nachher — wie wir sagenwürden — die Variation der Konstanten an wenden. Treten nur dieAbleitungen nach zweien der Variablen auf, so kann man wenigstensdie dritte als konstant betrachten und die Gleichung als Differential-gleichung zweier unabhängigen Variablen behandeln. 3 ) Euler unter-sucht außerdem speziell die „homogene“ Gleichung 2. und ü. Ord-nung, d. i. jene Gleichung, welche nur die Differentialquotienten derhöchsten Ordnung und kein Absolutglied besitzt. Unter der Annahme,daß v nur von

*) Miscellanea Taurinensia, t. II 2 , p. 127. *) Institutiones calculi inte-

gralis, vol. III, p. 397. Ebenda, bzw. p. 409, 416, 419.