Totale und partielle Differentialgleichungen.

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existiert; diese Hypothese führt auf die Bedingung, daß ein gewisseralgebraischer Ausdruck 3. Grades, gebildet aus x, y, z und den Koeftizienten A, B, C, . . . der gegebenen Differentialgleichung, sich in dreiLinearfaktoren der Form nx + by + cz spalten läßt; ist diese Be-dingung erfüllt, so kann das „vollständige“ Integral ohne weiteresangegeben werden. Aber auch wenn vollständige Zerfällung inLinearfaktoren nicht möglich ist, sondern — und dies gilt allgemeinauch für homogene Gleichungen höherer Ordnung — lediglich eineZerspaltung in Faktoren höheren Grades möglich ist 1 ), kann man nocheinen gewissen Nutzen aus dieser Faktorenzerlegung ziehen; denn esist dann wenigstens Ordnungserniedrigung anwendbar, so führt z. B.ein Faktor xy — zz auf

\dxdy) ~ Xdz*) = 1

Schließlich wird noch der Fall, daß eine der Größen a, b, c gleichNull ist, an einem Beispiel erläutert. Endlich sagt Euler 2 ) von derhydrodynamischen Gleichung mit vier unabhängigen Veränderlichen

/ ddv\ lddv\ /ddv\ /ddv\

\ dB) ~ [dxV + WyV + \dz*)’

daß ihr vollständiges Integral zwei willkürliche Funktionen von jedrei Variablen haben müsse, und versucht ein Integral der Form

v = r\ax + ßy + yz + Ö t).

Es ergibt sich die Bedingung

Öd = ua ßß + yy.

Ferner gibt Euler noch die Integrale

v = r(t±\/(xx + yy + zz)) _ ^ = r (x ±Y (tt — yy — z z))

Y(xx + yy + zz) ' Y(tt — yy — zz)

sowie die beiden anderen an, welche sich durch Vertauschung von xmit y und z hieraus ergeben.

An anderer Stelle behandelt Euler spezielle Gleichungen vonmehr Variablen; für die Schwingungen von Pauken stellt er 3 ) dieGleichung

1 / ddz\ /ddz\ . /ddz\ee [dt“-) = WxV + \rfyV

auf; hier findet man leicht

*) Iustitutiones calculi integralis, vol. III, p. 457. *) Ebenda, p. 458.

s) Novi Commentarii Academiae I’etropolitanae t. X, 1764 (1766), p. 252.

Cantor, Geschichte der Mathematik IV. G6