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Abschnitt XXVII.

Z = ftiux + ßtf + yf),

wo

ucc + ßß =

' ' €€

ist. Er versucht 1 ) auch für den Fall e = 1 eine Lösung der Formz — sin (u t + 31) sin + iö) • sin + (i);dann müssen die Konstanten u, ß, y der Bedingung

gehorchen. Euler erkennt diese Lösung als den Fall der Schwin-gungen einer rechteckigen Membran, die an den Rändern ringsumbefestigt ist. Um weitere Lösungen zu finden, transformiert er aufPolarkoordinaten und wird dabei schließlich auf unsere Zylinder-funktion geführt.

Monge behandelt 2 ) die lineare Gleichung 2. Ordnung mit dreiunabhängigen Variablen; man erhält sie aus der Eulerschen homo-genen Gleichung, indem man ein .Absolutglied hinzufügt und dieKoeffizienten als Funktionen der vier Variablen und der Derivierten1. Ordnung auffaßt. Monge wendet sein oft bewährtes Verfahrenan, indem er die drei Gleichungen, welche die Derivierten 2. Ordnungmit den totalen Differentialen der drei unabhängigen Variablen undder drei Derivierten 1. Ordnung verknüpfen, einführt, mit ihrer Hilfedrei Derivierte 2. Ordnung aus der ursprünglichen Gleichung eliminiertund wie immer das Resultat der Elimination in einzelne Gleichungenzerlegt. Er erhält so genau dieselbe Bedingungsgleichung wie Euler,nur in etwas anderer Bezeichnungsweise, und sagt von ihr: „la pro-posee n’est integrable que lorsque les coefficiens satisfont ä cettecondition“; daß sie die Bedingung für das Zerfallen eines gewissenAusdrucks in Linearfaktoren ist, braucht er deshalb nicht anzugeben,weil er sie umgekehrt gerade aus diesen Linearfaktoren, die ihmseine Methode zuerst liefert, herleitet. Monge deutet auch kurz dieAusdehnung seines Verfahrens auf Gleichungen höherer Ordnung an;er findet, daß die Anzahl der Bedingungsgleichungen — im Fall vondrei unabhängigen Variabein natürlich — immer gleich der Ordnungder Differentialgleichung, vermindert um die Einheit, ist. Im An-schluß daran erwähnt er wieder, daß seine totalen Gleichungen, aufdie er das Problem reduziert, von derselben Allgemeinheit (de lameme generalite) seien wie die partiellen Gleichungen. „Le travail

*) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. X, 1764 (1766), p. 248.h Histoire de l’Academie des Sciences 1784 ( 1787), p. 161.