Totale und partielle Ditterentialgleichungen.
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de Tintegration“, sagt er, „ne eonsiste donc plus, lorsqu’elle estpossible, qu’ä transforruer ces equations en d’autres qui les com-portent toutes et qui soient integrables“. So eigentümlich diese Wortebeim ersten Lesen anmuten, man muß sich hüten, ihnen allzu großeBedeutung beizumessen oder gar Liesehe Ideen darin finden zu wollen;Lie sagt ausdrücklich, Integration ist nichts anderes als Transfor-mation; Monge unterscheidet genau zwischen Transformation und In-tegration; was er verlangt, ist lediglich Transformation auf einenintegrablen Typus.
Auch Legendre untersucht 1 ) die lineare Gleichung 2. Ordnung
verlangt aber im Gegensatz zu Monge, daß die Koeffizienten n, b, . ..die abhängige Variable v nicht enthalten, also Funktionen von x, y, zallein sind. Als „notwendige Bedingung“ für die Existenz eines In-tegrals, das nur eine endliche Zahl von Termen aufweist, bezeichnetauch er die Möglichkeit, das Polynom x 2 4- axy + bxz -)-••• in zweirationale Faktoren zerspalten zu können. Er behauptet, daß fürGleichungen aller Ordnungen ein ähnliches Gesetz bestehe, und gehtdann 2 ) endlich zu Gleichungen 2. Ordnung mit vier unabhängigenVeränderlichen über, bei denen das Prinzip der Zerspaltung wiedervon Bedeutung wird.
Gleichungen mit mehreren abhängigen Variablen treten imallgemeinen nur bei Simultansystemen auf, wie sie schon frühzeitigbei hydrodynamischen Problemen untersucht wurden; so haben La-grange 3 ) und d’Alembert 4 ) das System
djj , dc l () . (0) __ ±1 _ ()
dt dx ' dx dt
integriert. Der Fall einer einzigen Gleichung mit mehreren abhängigenVariablen findet sich bei Trembley, welcher die Gleichung
, de\ !d fi\ _ /dg\ /dj\\dx)\d,j) \dy)\dx)
durch q = i*\u.) integriert 5 ); die Beziehung p = F(y) sieht Trembleylediglich als Integral der gegebenen Differentialgleichung an, während
'1 Histoire de l’Academie des Sciences 1787 (1789), p. 323. *) Ebenda,
p. 331. *) Miscellanea Taurinensia, t. III*, 1762/65 (1766), p. 205. *) Opus-
cules mathematiques, t. V, 1768, p. 41. 5 ) Nouveaux Memoires de l’Academiede Berlin 1792/93, p. 386. Vgl. hierzu auch Condorcet , HiBtoire de l’Aca-demie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 17. In obiger Form läßt sich be-kanntermaßen auch die Gleichung der abwickelbaren Flächen rt —• s ! = 0schreiben.
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