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Abschnitt XXVII.

wir heutzutage diese als notwendige und hinreichende Bedingung fürdas Bestehen einer Relation zwischen p und u auffassen; T rem hievhat also, wenn man so sagen darf, nur das „hinreichend“ eingesehen.

Von den Differentialgleichungen mit drei oder mehr Verändereliehen haben wir bis jetzt nur die partiellen betrachtet. Simultan-systeme wenigstens von totalen Gleichungen sind uns wiederholtbegegnet; wie wir uns erinnern, lag in ihrer Anwendung in zweiwichtigen Fallen Methode und zielbewußte Absicht. Der eine dieserFälle ist die Reduktion einer totalen Gleichung « ter Ordnung auf einSystem von n totalen Gleichungen 1. Ordnung. Eine besondereIutegrationsmethode für dieses Ersatzsystem wird indessen nirgendsentwickelt, wohl deshalb, weil das betreffende System da, wo es auf-gestellt wird, nicht die Integration erleichtern, sondern anderenZwecken, wie z. B. der Herleitung irgend eines allgemeinen Satzes(vgl. S. 905) dienen soll. Doch wird angeblich in speziellen Fällenfür m = 2 und n 3 auch die Integration selbst durch Euler inAngriff genommen und zwar mit Hilfe eines Multiplikatorensystems,ohne'“daß jedoch deren allgemeine Existenz behauptet wäre. 1 ) Wich-tiger ist die Heranziehung von simultanen totalen Gleichungen zurIntegration der partiellen Differentialgleichungen, wie sie von La-place, Lagrange und Monge (vgl. insbes. S. 947, 972, 1009 ) geübtwurde. Monge selbst geht ja hierbei soweit, daß er den Vereintotaler Gleichungen nicht nur als ein Hilfsmittel zur Integration derpartiellen Gleichung, seine Integration nicht bloß als eine Aufgabeansieht, auf welche sich diejenige der partiellen Gleichung stets zu-rückführen läßt, sondern den betreffenden Verein als ein der partiellenGleichung vollkommen gleichwertiges Gebilde ansieht, weshalb er denVerein totaler Gleichungen selbst nicht durch eine Reihe einzelnerIntegralgleichungen, sondern durch ein Integral mit willkürlichenFunktionen integriert.

Speziellere Systeme hat zuerst d’Alembert integriert, dem manüberhaupt die systematische Untersuchung von Simultansystemen ver-dankt. 2 ) Interessant ist die Behandlung des Systems von Differential-gleichungen der Schwingungen einer endlichen Zahl von Massen-punkten durch Lagrange bei Gelegenheit seiner Untersuchungenüber Saitenschwingungen 3 ); doch sind die Gleichungen zu speziell, alsdaß hier darauf eingegangen werden könnte. In demselben Aufsatz,der die Theorie der Adjungierten enthält, bringt Lagrange 4 ) ein

*) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften II A 4 b, S. 24(5.

*1 Vgl. diese Vorl., HP, S. 81)8, 901. *) Miscellanea Taurinensia, t. I 5 >1759/,

p. 2(5. 4 ) Ebenda, t. IIP, 17(52/65 1766 1 , p. 223.