Totale und partielle Differentialgleichungen.

1031

System von Gleichungen, auf das sich diese Theorie übertragen läßt;die Verwendung seiner Variation der Konstanten auf ein speziellesGleichungssystem haben wir bereits erwähnt (vgl. S. 920), desgleichendie Ausdehnung einer von Laplace herrührenden Xäherungsmetliodeauf ein System von Störungsgleichungen (vgl. S. 923). Auf eininteressantes Simultansystem, das Cousin behandelt 1 ), und seineapproximative Berechnung kann hier, da die betreffenden Entwick-lungen allzu umfangreich sind, nicht eingegangen werden. Endlichsei noch au die zahlreichen Simultansysteme, auf welche die Mechanikz. B. im Dreikörperproblem führt, erinnert.

Wir charakterisieren hier nur die Integration des Simultansystems

ddx + adx + ßdy -f- yx -f dp = 0;ddy + adx + ß'dy + y'x + d’y = 0

durch Lexell'); dabei sind x und y als Funktion einer unabhängigenVariablen u zu denken, deren Differentiale du, dir usw. der Einfach-heit halber fortgelassen sind. Durch zweimalige Differentiation beiderGleichungen ergeben sich vier weitere Gleichungen, die durch Ein-führung eines Multiplikatorsystems p, v, u, 1 und Addition auf eineGleichung 4. Ordnung führen. Bestimmt man hierin die Multipli-katoren so, daß nur mehr x und seine Differentiale überbleiben, soergibt sich die Gleichung

o o

d*x + (a + ß’)(Px (aß' — aß -f- y + d')ddx

~r~ (ad' — ad -f ßy' — ß’y)dx -f- (d’y — dy')x = 0,

wegen deren Integration auf Eulers Integralrechnung verwiesenist; ebensogut hätte man natürlich auch in der Gleichung y alleinbelassen können. 8 ) Im folgenden betrachtet Lexell zwei lineareGleichungen 3. Ordnung, ebenfalls mit konstanten Koeffizienten undstößt so auf eine Gleichung 0. Ordnung, welche nur x und seine Ab-leitungen enthält. Sind die zwei Ausgangsgleichungen vierter Ord-nung, so wird analog die Schlußgleichung 8. Ordnung usw. Lexellnimmt sodann drei Gleichungen mit den drei abhängigen Veränder-lichen x, y, z\ hier treten in den Schlußgleichungen viel kompliziertereKoeffizienten auf. Endlich ist das Problem mit der Frage der Inte-grabilität durch Verwendung passender Multiplikatoren, auf die wirfür den Fall von bloß zwei Veränderlichen ausführlich eingegangen

') Histoire de l'Acadeinie des Sciences 1783 (1786), p. 674. *) Acta

Academiae Petropolitanae 1777 '1778), pars I, p. 61 ff. Die Untersuchung ver-dankt nach Aussage des Autors ihre Entstehung der Anregung durch d’Alem-bert. *) Ebenda, p. 67.