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Abschnitt XXY11.
sind (vgl. S. 90511'.;, in Zusammenhang gebracht; ist V=0 eine Glei-chung zwischen p, q, r, . . ., p, q, r, . . ., wo
dx = pdu ; ddx = qdu*-, . . . dp = p'dn: ddp = q du 2 : . . .,
so ist das Integrabilitätskriteriuin durch folgende Gleichungengeben
,, _ dP ddQA du + dir
■ ■ = 0 :
dP’ dd<Jd u ' du 1
•• = 0 ,
g e -
wenn
d V = Mdu -\- Xdx + X'dy + • • ■-t- Pdp + P dp' +■•■+ Q'Pl + Q dq + • • •
Durch Anwendung dieser Kriterien (vgl. S. 538; erhält Lexell schließ-lich totale Differentialgleichungen für die gesuchten Multiplikatoren,die den ursprünglichen Gleichungen sehr ähnlich sind; zur Integrationder letzteren genügen indes schon partikuläre Lösungen der ersteren.Später hat Lexell diese Untersuchungen fortgesetzt. 1 )
Wir betrachten jetzt den Fall, daß eine einzige totale Glei-chung mit mehr als zwei Variablen vorliegt, und zwar solleninsbesondere die Differentiale aller dieser Veränderlichen Vorkommen,da der gegenteilige Fall keinerlei Schwierigkeiten macht. Die hierhergehörigen Gleichungen 1. Ordnung und 1. Grades hat schon frühzeitigClairaut eingehend behandelt 2 ) und die Bedingung ihrer Integra-bilität, die event. mit Hilfe eines Multiplikators zu bewerkstelligenist, aufgestellt. Diese Bedingungsgleichung bringt Euler in seinerIntegralrechnung wieder 3 ;, woselbst sich auch das entsprechende Kri-terium für die spezielle Gleichung
dz = Pdx + Qdp
findet, ohne daß Euler die wichtige Anwendung zu machen weiß,die nachher Lagrange geglückt ist (vgl. S. 96ü). Letzterer Umstandist indessen sehr begreiflich, da Euler von der totalen Gleichungausgeht, bei der P und Q Funktionen bedeuten, die zumeist gegebensind oder doch bestimmt angebbar gedacht werden, während La-grange eine gegebene Gleichung zwischen x, p, z, P, (J integrierenwill, in der P und Q nichts als die Symbole für partielle Diff'erential-quotienten, nichts als Zeichen, formale Gebilde sind. Ist die Integra-
*) Acta Academiae Petropolitauae 1779 A783), pars II, p. 52 tf. *) Vgl.diese Vorl., III ! , S. 885. ®) Institutiones ealculi integralis, vol. III, p. 5.