Totale und partielle Differentialgleichungen.

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bilitätsbedinguiig nicht erfüllt, so ist die gegebene Differentialgleichungnach Eulers Ansicht völlig sinnlos. Man sieht, heißt es, daß manunendlich viele derartige Gleichungen mit drei Variabein vorlegenkann, denen keinerlei endliche Gleichung (d. i. Integralgleichung) zu-kommt, und die außerdem absolut nichts bedeuten („nihil plane definiant - ‘ und an anderer Stelle „nihilque omnino declararet“); es wärelächerlich, ihre Integration zu versuchen, heißt es weiterhin.

Euler kann sich gar nicht genug tun in starken Ausdrücken,„aequatio nihil siguificans absurda“ nennt er diesen Fall im Gegen-satz zur „aequatio realis“'. 1 ) Ähnlich sagt er gleich darauf von derGleichung 2. Grades mit drei Variabein, sie sei überhaupt immer ab-surd, wenn sie nicht durch Wurzelziehen 2 ) auf die Form

Vdx -f Qdy + lidz = 0

gebracht werden könne. Diese Anschauung kann in Erstaunen setzen,wenn man weiß, daß Newton bereits die Differentialgleichung

2 dx + xdy — dz — 0nicht allein durch die zwei Relationen

y- = x und z = 2 x -f- x -

erfüllt, sondern sogar die viel allgemeinere Vorschrift gegeben hat,eine Relation zwischen zweien der Variabein willkürlich anzunehmen,um mit ihrer Hilfe die gegebene Gleichung auf eine solche von nurzwei Veränderlichen zu reduzieren. 3 ) Noch viel wunderbarer erscheintaber die Tatsache, daß Euler schon lange vor dem Erscheinen derIntegralrechnung Gleichungen, die er später als absurd und sinnlosbezeichnet, wirklich nach allen Regeln der Kunst integriert hat.

So löst er 4 ) schon 1780 die Gleichung

ds = ^dx* + dy-

durch

x = d d j ; y = px — P- s = x ]/l + p 2 - Q,

wo

*) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 4, 7, 9, 10. *) An Faktoren-zerlegung im allgemeinen scheint er nicht zu denken. *) Man vgl. eine

Abhandlnng von Stiickel in den Leipziger Berichten 1902, ferner einen dies-bezüglichen Aufsatz von v. Braunmühl in den Verhandlungen des III. inter-nationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom S. bis 13. August 1904.4 ) Commentarii Academiae Petropolitanae 1730/31. Nach Kliigels mathema-tischem Wörterbuch, Artikel Kectification. Siehe auch Institutiones calculi inte-gralis, vol. I, p. 525.