Totale und partielle Differentialgleichungen

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zuzuschreiben, die er nach Zeitcharakter und eigenem Wissen nochnicht haben kann, und die erst Spätere, auch wenn sie dessen Vor-arbeiten kannten, mit größter Anstrengung allmählich aufdeckten. DieLösung irgend einer mathematischen Aufgabe ist zwar ohne die Ein-führung gewisser für sie charakteristischer Gedankengänge und Defi-nitionen (z. B. des Grenzbegriffes l nicht möglich, man darf aber ausder faktischen Herstellung der Lösung noch nicht schließen, daß auchdie Prinzipien, welche allein die Lösung ermöglichten, erkannt wordensind. Es ist ein Unterschied, ob man ein Theorem unbewußt anwendetund ob man sich über seine Bedeutung klar ist, und Newtons Ver-dienst liegt nicht so sehr darin, daß er das Gravitationsgesetz be-hauptete, als daß er zeigte, wie sich die kompliziertesten himmlischenVorgänse mit seiner Hilfe erklären lassen. Der Nichthistoriker kannja sagen: wie leicht hätte Euler auf die allgemeine totale Gleichungmit drei Variabein dasselbe Verfahren anwenden können, wie auf diespezielle Gleichung

dz — Pdx + Qdy,

wo P und Q durch eine Belation verbunden waren (vgl. S. 957 undS. 963); hätte er doch wie sonst die ganze Gleichung bis auf eineinziges Glied in ein exaktes Differential umgeformt, und den Koeffi-zienten dieses Gliedes mit Zuhilfenahme einer willkürlichen Punktionso bestimmt, daß die ganze Gleichung ein vollständiges Differentialgeworden w'äre! So naheliegend der Gedanke war, Euler hat ihneben gerade hier nicht gedacht, und das ist für den Historiker dasWesentliche. In anderen Fällen hat er dann plötzlich die Fruchtbar-keit der eben geschilderten Methode wieder eingesehen; die Gleichungendx = pdu + rdt cos u und dy = rdu — pdf cos u,auf die er gelegentlich eines Abbildungsproblems stößt 1 ) (vgl. S. 573),multipliziert er mit u bzw. ß, addiert und erhält auf Grund der Annahme

«« + /t/t = 0

die Gleichung

dx + dy V- 1 = cos u (p + r ]/— l) (~~ u -]/— 1 dt) ■

Hier sagt Euler kurz und klar, daß ~- w - — T/— 1 dt ein vollstän-° cos u ’

diges Differential dz sei, weswegen cos u (p + r j/—l) eine Funktion

von z sein müsse. Er erhält sofort

x + yY- 1 = 2 r (/« - t V- l),wo zur Abkürzung

s = tg (45° + ‘ u )

h Acta Academiae Petropolitanae 1777 (1778), pars I, p. 124.