Totale und partielle Ditt'erentialgleichuugeu.
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kaum daß sich da oder dort eine Bemerkung darüber findet, wie beiLaplace, der nach singulären Integralen von Gleichungen mit dreiVariabein fragt und dabei auf die Integrabilitätsbedingungen zusprechen kommt. 1 ) Endlich 1784, gleichzeitig mit den beiden frühererwähnten Aufsätzen über Differentialgleichungen (vgl. S. 949 u.), er-scheint die große Arbeit von Monge 2 ), die auf diese Fragen nichtnur neues Licht wirft, sondern sie unter großen, allgemeinen Gesichts-punkten behandelt und auch zu einem gewissen Abschluß bringt.Einleitend bezeichnet Monge die Gleichung
Mdx + Xdy — U
als Bestimmungsgleichung für die Tangentenrichtung der Integral-kurven in dem Punkt (x, y) und deutet analog die entsprechendeGleichung 2. Ordnung. Von den Gleichungen mit mehr Variabein,heißt es weiter, hält man die höheren Grades alle für absurd; vonden linearen alle jene, die nicht bestimmten Bedingungen genügen;diese Bedingungen, an Zahl immer um zwei weniger als die Anzahlder Variabein, werden kurz besprochen. Xach solchen orientierendenBemerkungen kündet Monge den Inhalt seiner Untersuchung an 3 ):„ich nehme mir vor, zu zeigen, daß es keine absurde Differential-gleichung gibt, absurd im Sinne von unmöglich, imaginär. Ich werdezeigen, daß alle Differentialgleichungen reelle Eigenschaften ausdrücken,ob sie jetzt den erwähnten Bedingungen gehorchen oder nicht; daßsie alle einer wirklichen Integration fähig sind.“ Zum besseren Ver-ständnis des folgenden bringt jetzt Monge folgende Überlegung: Vonallen Gleichungen 1. Ordnung mit zwei Variabein, sagt er, gibt esnur eine einzige nichtlineare, nämlich
M-dx- m + N 2 dy im = 0,
wo unter M und A T Funktionen von x und y zu verstehen sind; dieseGleichung könne nichts Reelles bedeuten, außer wenn gleichzeitig
M = 0 und X = 0,
oder
dx = 0 und dy = 0.
Das erste dieser zwei Ergebnisse könne nicht als Integral angesehenwerden, da es keine willkürliche Konstante enthalte; als wirklichesIntegral sei demnach der Verein der Gleichungen
x = a, y = b,
l ) Histoire de l'Acadeinie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 308.
*) Ebenda, 1784 17*7), p. 502—576. *) Ebenda, p. 504.