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Abschnitt XXVII.

d. i. die Gleichung eines einzelnen Punktes auzusehen. Unter denDifferentialgleichungen 1. Ordnung gebe es also solche, deren Integralaus einer bzw. zwei Gleichungen bestehe und eine hzw. zwei Integra-tionskonstanten enthalte. Die besprochene Eigenschaft der Gleichunghöheren Grades sei schon früher beobachtet, aber als Ausnahme be-trachtet worden, indessen sei sie nur der Anfang einer ungeheurenKette. Dieses Bild erklärt Monge durch folgende Ausführungen: dietotalen Gleichungen dreier Variahein gehören, wenn die Integrabilitäts-bedingung erfüllt ist, alle krummen Oberflächen an, und ihr Integralbesteht in einer einzigen Gleichung mit einer einzigen Integrations-konstanten. Aber alle die unendlich vielen Gleichungen, die jenerBedingung nicht genügen, gehören Kaumkurven an, und ihr Integralbesteht aus zwei simultanen Gleichungen. Indessen habe eine einzigevon ihnen, nämlich

J f 3 dx- m + X-(/ir"‘ + r-(lz'-‘" = 0,die drei simultanen Gleichungen

x = n, if = h, z = c,

die zusammen einen Punkt darstellen, zum Integral. Nach Darlegungder analogen Verhältnisse für vier Variable, wobei Monge natürlichauf die geometrische Veranschaulichung verzichten muH, ist die neueAuffassung ausgesprochen, die sogen. Integrabilitätsbedingungen hättennicht die Beurteilung, ob eine Integration möglich sei, sondern dieEntscheidung, aus wieviel simultanen Gleichungen sich das Intecrralzusammensetze, zum Gegenstand. 1 ) An einigen Beispielen wird so-dann das Gesagte erörtert; die Einschaltung dieser Aufgaben hat aberfür uns den großen Wert, daß wir aus ihnen wieder geometrischeUntersuchungen als Quelle von Monges Ideen über die Differential-gleichungen, d. i. einen Zweig der Analysis, erkennen können, denndie Behandlung dieser Aufgaben macht es fast unzweifelhaft, daßMonge bei ausgedehnter Beschäftigung mit Problemen der Flächen-theorie zuerst immer wieder auf derartige Gleichungen geführt wurde,bis er sie endlich in ihrer vollen Bedeutung erkannte und nun um-gekehrt zum Gegenstand einer Sonderuntersuchung machte. Das erstedieser Beispiele ist

dz 2 = rrt dx t + dy-) f

in dem a eine gegebene Konstante bedeutet. Es ist offenkundig,sagt Monge, daß diese Gleichung derjenigen doppelt gekrümmtenKurve angehört, deren Elemente einen gewissen konstanten Winkel

‘) Histoire de l'Academie des Sciences 1784 <1787), p. 500.