Totale und partielle Differentialgleichungen.

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mit der xy- Ebene bilden; deshalb sind speziell die Gleichungen allerGeraden, die diesen Winkel mit der xy- Ebene bilden, Lösungen dergegebenen Gleichung.

Diese Geraden sind aber

x = az + ß-, y = z j/ Q. - er) + y,

wo «, ß, y drei willkürliche Konstanten sind. Nachdem sich Mongedurch Differentiation überzeugt hat, daß diese beiden Gleichungenzusammen wirklich eine Lösung darstellen, geht er dazu über, dasintegrale complete zu finden. Elimination von cc gibt zunächst

(a;-/L ä + (// —y)*=* s .

und das ist die Gleichung aller Kegel, deren Spitzen in der xy- Ebeneliegen, und deren Erzeugende mit dieser Ebene den erwähnten kon-stanten Winkel bilden. Die Annahme

y ='c f (ß)

scheidet hieraus alle jene Kegel aus, deren Spitzen auf der in derxy- Ebene gezogenen Kurve

y - i f i x)

liegen. Zwei konsekutive Kegel dieser Schar schneiden sich nun,fährt Monge fort, in einer Geraden mit den Gleichungen

(x - ß) 3 + (// - ff (ß)) s = : x — ß + (y -- (piß))cp'iß' = 0,

deren zweite durch partielle Differentiation nach ß entstanden ist.Auch diese Gerade bildet immer noch mit der #?/-Ebene jenen kon-stanten Winkel und ist daher eine Lösung der Differentialgleichung.Betrachtet man aber die Schar i suite) von Kegelfiächen, so ergibtsich eine Reihe solcher Schnittgeraden wie die eben erwähnte. Dasich aber von diesen Geraden, deren Lage nur von dem variabelnParameter (parametre variable) ß abhängt, immer zwei konsekutiveauf der nämlichen Kegelfiäche befinden, so schneiden sie sich not-wendig zu zweien konsekutiv und bilden folglich die Tangenten einerdoppelt gekrümmten Kurve, die wegen der konstanten Neigung ihrerElemente das vollständige Integral der gegebenen Differentialgleichungdarstellen wird. Nach ihrer geometrischen Entstehungsweise wird siedargestellt durch die drei Gleichungen

0 - ßY- +(y — fp(ß)f= "e;

X — ß + (r — <p(ß)')<p'(ß: = G: — 1 — (fp'^ß)) 3 + 0/ - <p(ß))cp"iß) = 0,