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Abschnitt XXVII.

worin <p als willkürliche Funktion aufzufassen ist. Durch ähnlicheÜberlegungen integriert Monge die Gleichungen

z~(dx iJ r dir + dz*) = a 2 \dx 2 + dy 2 )

und

(xdy — ydx) 2 + (ydz — zdyr + (zdx — xdzf = n 2 (dx 2 + dy 2 -f dz 2 )

und leitet, vielleicht durch die Form der hierbei auftretenden Inte-grale zu tieferem Eindringen in deren Natur veranlaßt, einige allge-meine Sätze ab. So erhält man, heißt es 1 ), das integrale completeder Gleichung

F

dxdz ’

welche die Variabein x, y, z selbst nicht enthält, durch Eliminationvon k aus den drei Gleichungen

y — <p{u)z

wo die 2. und Gleichung durch partielle Differentiation der 1. bzw.2. Gleichung nach u entstehen. Für den Beweis, sagt Monge, ist zubeachten, daß man die 1. und 2. dieser Gleichungen differentiierendarf, als ob a konstant wäre, da ja die partiellen Abgeleiteten dieserbeiden Gleichungen nach u Null sind. Führt man diese Differentiationwirklich aus, so ergibt sich mit Benutzung der Abkürzungen

x — az

y — <p{cc)

m und " = n,

z ’

da sich die Gleichungauch

schreiben läßt:

<$ + (£)*■<*>-°d''”'+ (?/»-)‘'"“"i

Kita') + + [(itdi) + Ov-)?■'(«)]'*» -»■

Diese beiden Gleichungen können aber nicht unabhängig vondem Wert von F existieren, wenn nicht gleichzeitig

7 O O

*) Histoire de l’Academie des Sciences 1784 (1787), p. 515. Auf den imText erwähnten Typus läßt sich die eben behandelte Gleichung

dz 2 = a 2 (dx s -f- dy 2 )

ohne weiteres zurückführen.