Totale und partielle Differentialgleichungen.dm = 0 und dn — 0,

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d. i.

x — u

z

ist. Die verlangte Elimination von u führt dann sofort auf

O

dz 1 dz

In ganz analoger Weise wird das Integral von

dZ ’ dZ

wo X, Y, Z Funktionen von x, y, z sind, durch

X— «Z

und die beiden partiellen Ableitungen nach « dargestellt.

Im folgenden 1 ) sucht Monge den Zusammenhang zwischentotalen und partiellen Differentialgleichungen von drei Va-

riabein darzustellen. Er bedient sich hierzu folgender Überlegung:

Ist eine Flächengleichung M = 0 gegeben, die einen Parameter a undeine willkürliche Funktion <jr(«) dieses Parameters enthält, so werdenbei variablem a und festem cp zwei konsekutive Flächen sich in einerKurve

"-»i CD

schneiden. Alle diese Kurven zusammen bilden eine Fläche, nämlichdie Enveloppe der Flächen M = 0. Man erhält die endliche, d. i. vonDifferentialen freie Gleichung derselben durch Elimination von « aus

M = 0 und ( <l ; y ) = 0,' da / ?

doch wird die Elimination im allgemeinen wegen der willkürlichenFunktion cp nicht ausführbar sein. Die Kurven, welche diese En-veloppe zusammensetzten, besitzen aber selbst wieder eine Enveloppe,die Monge die Grenzkurve (limite) der Enveloppe nennt; ihre end-lichen Gleichungen erhält man durch Hinzunahme von

zu den früheren beiden Gleichungen und Elimination von u. Mongestellt nun die von cp freien Differentialgleichungen sowohl der En-

') Hiatoire de l’Academie des Sciences 1784 1 1787), p. 518.