Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Ausdruck pdx + qdy einzusetzen; das liefert eine Gleichung f' / = (lzwischen x, y, z, p, q und ^ = co: Elimination von w aus

““ ii - u

gibt die gewünschte partielle Gleichung F=0. Monge erläutertdiese Vorschriften wieder an dem speziellen Beispiel

M = (x — u) 3 + (// — <p («))' —^7 = 0,wo die Gleichungen

I r = 0 und U = 0 bzw. p 3 + q 3 = a 3 und dz 3 = a 3 (dx 3 + dy 3 )

lauten, und geht sodann zu ihrem allgemeinen Beweis über, der hierübergangen werden kann.

Diese Beziehung zwischen den Gleichungen l’—() und V=0kann nun, wie Monge zeigt 1 ), deshalb für ihre Integration, d. i. fürdie Auffindung der Gleichung M = 0, bedeutungsvoll -werden, da sichdie eine von ihnen oft unschwer integrieren läßt, die andere keinerder bekannten Integrationsmethoden sich fügt. Dahin gehört dasdritte von den oben erwähnten Beispielen, das auf die partielle Glei-chung

z -px - qy = <r j/(l + p 3 + <f)

führt, die einem der von Lagrange integrierten Gleichungstypen(vgl. S. 968) angehört und auf

M — z — ux — <jp(«) ■ y — a 3 Y[ 1 -f- a 3 + (<p(«)) 2 ]

führt. Umgekehrt läßt sich, wie Monge, der die LagrangescheArbeit von 1772 noch nicht in ihrer vollen Tragweite erfaßt, be-hauptet, die partielle Gleichung

bx 3 (z + px — qy) 3 -f- aby 3 (z — px + qy) 3 -f az(z 4- px + qy) 3 = 0

nach keiner der bekannten Methoden integrieren; sie führt aber aufeine totale Gleichung der Form

/dXC \dZ’

d r ) = 0

dZ

und damit zu der Gleichung

( xz — ax;i

y

*) Ilistoire de l’Academie des Sciences 1784 4787), p. 526.

Cantok, Geschichte der Mathematik IV. *