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Abschnitt XXVII.

woraus die Integrale sowohl der partiellen als der totalen Gleichungin bekannter Weise abzuleiten sind.

Monge kommt sodann 1 ) auf die linearen Gleichungen zu sprechen;für die betr. Gleichung mit drei Variablen

Ldx + j\ Idy + Xdz — 0

sucht er zunächst die entsprechende partielle Gleichung genau nachder eben hierfür aufgestellten Hegel. Einführung von pdx -f qdy anStelle von dz gibt

(L + Xp)dx + (3/ + Xq)dy = 0;

partielle Differentiation nach w, d. i. ^ und Elimination von ioliefert die zwei simultanen Gleichungen

L + Xp = 0; M + Xq = 0.

Man integriere, heißt es weiter, die eine dieser Gleichungen, wobei ybzw. x konstant betrachtet werden kann, und ergänze das Integraldurch eine willkürliche Funktion von y bzw. x- setzt man den ausdieser Gleichung berechneten Wert von q bzw. p in die andere vonjenen simultanen Gleichungen ein, so erhält man eine Gleichung, diekeine Differentiationen mehr aufweist; man hat auf diese Weise zweiendliche Gleichungen gewonnen, die einer Raumkurve angehören unddas Integral der ursprünglichen Gleichung darstellen. Nach einigenBeispielen ist auf den Fall von mehr als drei Variablen eingegangen 2 );man substituiere, sagt Monge, für dz seinen Wert

pdu + qdx + rdy + ■ ■ •

und differentiiere, indem man der Heihe nach immer nur eine einzige

' o

(l X (l If

von den Größen , y-, ... als variabel ansieht; so erhält man einedti’ du’ ’

Anzahl von Gleichungen, die zur Elimination dieser Größen genügt.Die sich ergebenden partiellen Schlußgleichungen sind sodann ganzwie im Fall von drei Variablen weiter zu behandeln. Monge be-hauptet sodann 3 ), daß die Zahl der Integralgleichungen nicht immerum Eins kleiner ist als die Zahl der Variablen, sondern daß sie, wiean dem Beispiel

ndu + xdx -f xdy + zdz = 0

gezeigt ist, auch geringer sein kann. Doch scheint er das Vorhanden-sein von n — 1 Integralgleichungen bei n Veränderlichen für die

’) Histoire de l’Acaderuie des Sciences 1784 (1787), p. 528. *) Ebenda,

p. 532. s ) Ebenda, p. 534.