Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Kegel anzusehen. Dazu stimmt auch die Äußerung 1 ), es hätte etwasAbsurdes an sich, wenn eine totale Gleichung mit mehr Variablensich durch eine einzige Gleichung integrieren lasse; so sei es z. B.(eher) absurd, wenn die Differentialgleichung mit drei Variablen, wieman bisher stillschweigend voraussetzte, einer Fläche angehöre; siegehöre vielmehr einer Kaumkurve an, die sich zwar durch eine einzigeDifferentialgleichung, aber bei Verwendung von endlichen Größenallein nur durch zwei simultane Gleichungen darstellen lasse. Unterder Überschrift „Gleichungen 2. Ordnung höheren Grades mit mehrals zwei Variablen“ behandelt Monge dann zunächst die Aufgabe,alle Raumkurven mit konstantem Krümmungsradius zu finden 2 !, zeigtdann analog dem früheren die Integration von

* O

v (ddyv/.r 2 ’

d d z\dr' t )

= 0

usw. und überträgt endlich die diesbezüglichen Sätze für Gleichungen1. und 2. Ordnung allgemeiner auf den Fall beliebig vieler Veränder-licher. 3 )

Monge behauptet 4 ^, daß auch partielle Gleichungen im allge-meinen nicht Flächen, sondern Raumkurven angehören. Setzt manin der Gleichung

p — Ay = q(q -+- Ax),

wo A konstant und q eine willkürliche Funktion ist, zur Abkürzung

also

so wird aus

die neue Gleichung

O

q + Ax = «,P- Ay- q(a),dz = pdx + qdy

dz = dxq(ci) -j- ady — A(xdy — ydx).

Man kann hier u konstant betrachten, sagt Monge, integrieren unddie so gewonnene Integralgleichung nachträglich durch eine willkür-liche Funktion von u zu der Gleichung flf=0 vervollständigen,

O 0 7

wobei dann

0

sein muß; da aber die eben aufgestellte totale Gleichung die Integra-bilitätsbedingung nicht erfüllt, so komme die weitere Gleichung

*) Histoire rle l’Academie des Sciences 1784 (17877, p. 535. *) Ebenda,

p. 536 ff. *) Ebenda, p. 547 bzw. 549. 4 ) Ebenda, p. 551. Ähnliche Unter-

suchungen für Gleichungen 2. Ordnung ebenda, p. 568.