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Abschnitt XXVII.

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hinzu, so daß man im ganzen drei Gleichungen habe, die sich bei Eli-mination von a auf zwei Gleichungen zwischen x, y, z und einerwillkürlichen Funktion ip reduzieren. Offenbar hat Monge geglaubt,für die partiellen Gleichungen müsse dasselbe gelten wie für dietotalen.

Endlich folgen noch einige Bemerkungen über partielle Differen-tialgleichungen 1. und höherer Ordnung; hier sei folgendes Theoremerwähnt 1 ): Ist

dz - pdu + qdx + rdy • • • und F(z, p U, q X, r F, ■ ■ •) = 0

die gegebene Differentialgleichung, wo 17, X, F, ... Funktionen von«, bzw. x, bzw. y, . . . sind, so ergibt sich das Integral durch bloßeQuadraturen. Sei nämlich

pV=arY ; q X = ßr F; • • •,

wo «, ß, . . , unbestimmte Größen sind, so wird durch Substitutionin die gegebene Differentialgleichung

/{z, u, ß, ... r F) = 0.

Aus dieser Gleichung läßt sich r F in der Form

>' y = f(z, u, ß. • ■ ■ )

berechnen und man erhält

p ü = af(z, u, ß. . . .); q X = ßf(z, ....

so daß also

dz ccdu , ßdx ; dy ,

f(z, a, (J, .77) = U + X +!-+•••

wird. Integration bei konstanten u, ß, . . . ergibt unter Beifügungeiner willkürlichen Funktion eben dieser Größen u, ß, . . . eine Glei-chung 71/ = 0, zu der noch die Gleichungen

hinzutreten; aus allen diesen Gleichungen hat man sich die u, ß, . . .eliminiert zu denken (vgl. S. 1*81). Endlich stellt Monge in einercouclusion generale die Hauptergebnisse der ganzen Arbeit nochmalsübersichtlich zusammen und weist auf den großen Nutzen hin, den

*) Histoire de l'Academie des Sciences 1784 ;1787), p. 556.