Differenzen- und Summenrecbnung.

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die Geometrie aus den darin niedergelegten neuen Gedanken undMethoden ziehen kann. 1 )

Außer der großen Arbeit von Monge findet sich wenig übertotale Gleichungen mit mehr Variabein; P. G. Fontana ('vgl. Ab-schnitt XXVI passim) versucht sich mit Multiplikatoren für derartigeGleichungen 2 ); bedeutender ist eine Arbeit von Pietro Paoli überDifferentialgleichungen, welche die Integrabilitätsbedingungen nicht er-füllen. 3 ) Paoli schließt sich im allgemeinen eng an sein Vorbild Mongean; hier sei seine Integration der Gleichung mit vier Variablen

Adn + Beiz -f- Cdy + T)dx = 0

mitgeteilt. 4 ) Paoli nimmt zwei Gleichungen M = cc und N = ß , wo« und ß Konstante bedeuten, zwischen x, y, z willkürlich an; ausihnen lassen sich z und y als Funktionen von x berechnen. DieseWerte ergeben, in die gegebene Gleichung eingeführt, eine totaleGleichung zwischen n und x mit einem Integral P = y. Betrachtetman jetzt in den Integralgleichungen

.1/ = «, x-ß, B = y

die Größen u, ß, y als variabel, so muß, wenn die gegebene Diffe-rentialgleichung noch erfüllt sein soll, eine Gleichung der Form

mdy + nda + pdß = 0

bestehen. Das ist aber eine totale Gleichung mit nur drei Variablen,die im allgemeinen die Integrabilitätsbedingungen nicht befriedigenwird, weshalb sie nach den für solche Gleichungen geltenden Methodenweiter behandelt wird. Paoli geht im folgenden noch auf die Glei-chungen mit fünf Veränderlichen, auf die höheren Grades und endlichauf diejenigen 2. Ordnung ein. 5 )

Differenzen- und Sununenreclinung.

Wir gehen zur Differenzen- und Summenrechnung über.Den ersten Aufschwung verdankt diese Disziplin der Untersuchungder arithmetischen Reihen höherer Ordnung, und die sich hierbei er-gebenden Gesetzmäßigkeiten für den Zusammenhang zwischen Diffe-renzen höherer und niederer Ordnung haben in mannigfacher Weise

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‘j Histoire de l’Academie des Sciences 1784 -1787), p. 573 bzw. 574.s ) Memorie di Matematica e Fisica Soc. Ital. Verona, t. III, 1786, p. 516 ff.s ) Ebenda, t. VI, 1792, p. 501 ff. 4 ) Ebenda, p. 509. ä ) Ebenda, p. 513,