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Abschnitt XXVII.
auf die Probleme der niederen Analysis befruchtend eingewirkt. Hiersei eine Abhandlung von Euler 1 ) erwähnt, die sich die Umformungvon Reihen mit Hilfe endlicher Differenzen zur Aufgabe stellt. Wichtiger wurden die hierher gehörigen Untersuchungen für das Inter-polationsproblem, das gewöhnlich im Zusammenhang mit derSummen- und Differenzenrechnung behandelt zu werden pflegt. Hierist allerdings nur wenig darüber zu sagen, da die meisten diesbezüg-lichen Methoden für eine ganz spezielle praktische Anwendung geschaffen und gleich im Zusammenhang mit dieser behandelt wurden;die meisten Notizen finden sich in großen Tafelwerken, astronomischenund ähnlichen Abhandlungen der angewandten Mathematik.*) Reinmathematische Untersuchungen über das Iuterpolationsproblem im all-gemeinen finden sich nur wenige; in speziellen Fällen wurde die Inter-polation schon seit langem durch geistreiche Kunstgriffe geleistet, icherinnere hier aus früherer Zeit nur an die Berechnung der Logarith-men, an das Wallissche Produkt und die Eulersche Interpolationder Fakultät (vgl. auch S. 781 ff. 1 ). Das allgemeine Problem behandeltinsbesondere Lagrange und kommt hierbei 3 ) zu der bekannten, prak-tisch allerdings wenig brauchbaren Formel
= — S»)(3 — #,)•• ■(* —*«) , (* — Xy |) (* —
(X, — x 4 ) (x, — x,) • ■ • (x, — x„) • /l ' (x, — X,) (x s — x s ) • • • (x 8 — x„) ’
wobei y x , i/ 8 , ■ . . ij n die Werte der Funktion y x für
x = x y , x S} • • • x„
bedeuten. Von Lagrange stammen auch (aus dem Jahr 1772) dieeleganten symbolischen Formeln 41 )
A'u = — l) ; (;£§)‘=|log(l -f Aalh
d~ 1 = I usw.: A _ 1 = A usw.,
‘) Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersbourg, t. IV,1811 (1813), p. 88ff. *) So z. H. Lambert, Über das Einschalten in den
„Beiträgen zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung“, Berlin 1765/77, Bd. III, § 5. Nach Klügels mathematischem Wörterbuch, Artikel Ein-schalten. Ferner Lambert, Uber das Einschalten beim Gebrauch der Epheme-riden, Bodes Jahrbuch für 1776. Poggendorff I, S. 1357. ’) Lagrange
gewinnt diese Formel durch Umformung des bereits 1775 aufgestellten Ausdrucksfür den allgemeinen Term einer rekurrenten Reihe bei bekannten Anfangstermen.Nouveaux Memoires de l’Academie de Berlin, annees 1792 et 1793. Oeuvres,t. V, p. 627ff. *) Sur une nouvelle espece de calcul, Oeuvres de Lagrange,
t. III, bzw. p. 452, 457, 451. Auf diesen Aufsatz kommt Laplace, Histoire del’Academie des Sciences 1777 0780), p. 113 zurück.