Differenzen- und Summenrechnung.
1049
in denen nach Auswertung der auftretenden Klammern finit Hilfe desbinomischen Lehrsatzes) und Ausführung der angedeuteten Multiplika-
d d i d s
tion mit u die Symbole A, A 2 , A , . . . und , ^ . . . nicht
mehr Potenzen von A bzw. sondern Differenzen und Differential-
dx’
quotienten höherer Ordnung bedeuten (vgl. S. (596). Bei Aufstellung dieserGleichungen mag sich Lagrange wohl der sogen. Leibnizschen Dar-stellung der höheren Differentialquotienten eines Produktes erinnerthaben. 1 ) Auch Edward Waring kommt in einem Aufsatz überInterpolation zur Lagrangeschen Formel; er verwendet seine Formelnaber nicht zur Einschaltung selbst, sondern zur Herleitung von Glei-chungen, die der niederen Analysis angehören. So bringt er 2 ) z. R.den Satz, daß der Ausdruck
+
(ci — ß) (a — y) (u — d) ■ ■ ■ (ß — a) (ß — y) (ß — ä)
+
Xull oder Eins ist, je nachdem
(y — “) (y — ß) (■/ — <*) •
—+
m < n — 1 oder >« = n — 1
ist, wo n die Anzahl der Größen «, ß, y, d, . . . bedeutet. Von be-sonderer Wichtigkeit sind später diejenigen Interpolationsmethodengeworden, die trigonometrische Funktionen benutzen. Lagrange,dessen früher erwähnte Behandlung des Problems der Schwingungeneiner endlichen Zahl von Punkten unschwer auf eine derartige Inter-polationsformel führt, setzt später gelegentlich 3 ) das allgemeine Gliedeiner Reihe in der Form
y = n sin(« + x<p) + b sin (ß + x%) + c sin (y + xi’) -)-•••
an, und zeigt, wie die Größen a, b, c, ... a, ß, y, .. . q>, i<,
aus gegebenen Werten von y bestimmt werden können; er wird hier-bei auf rekurrente Reihen geführt. In anderer Weise verwendetCharles die trigonometrischen Funktionen; ihm werden die Glei-chungen
‘) Hier mag auch eine Methode von Lagrange aus dem Jahre 1783 Er-wähnung finden, nach der (er eine Funktion y = cp (x< näherungsweiae durchy = ß-\-yg (bzw. wenn y = 0 ist, durch ß -f- Sg 1 ) ersetzt, wo g eine sehr kleineZunahme von x bedeutet, wenn zwischen x und einer Funktion X von x undebenso zwischen <p(x) und cp (X) zwei bekannte Relationen existieren. La-grange zeigt die Anwendung seines Verfahrens für die Logarithmen Oeuvres,t. V, p. 517 ff. Man vgl. endlich Oeuvres, t. V, p. 663ff. *) Philosophical Trans-
actions , vol. 69, 1779, p. 64. s ) Astronomisches Jahrbuch 1783, S. 41. NachKlügel, a. a. 0.