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Abschnitt XXVII.

!l = P

b sin n{x — 1)

sin q (x

_.n pnx

*y=p ■

a sin 7tx

, 9 (*- !)

sin rix hsin7t(x—1)

x*y = (sin

(x — 1) !

zugeschrieben, wo y für x = 0, 1, . . . die Werte a, b, . . . annimmt. 1 )Auch die rekurrenten Reihen sind im Zusammenhang mit dem Inter-polationsproblem viel behandelt worden; indessen benutzen die meistenArbeiten über rekurrente Reihen die Integrationsmethoden für Diffe-renzengleichungen, die weiter unten besprochen werden sollen. Vonmehr elementaren Arbeiten auf diesem Gebiet ist eine Untersuchungvon Lagrange zu nennen 2 ), der das allgemeine Glied einer rekur-renten Reihe mit den n ersten Termen T, T\ T ", . . . dadurch findet,daß er zunächst eine gebrochene rationale Funktion in möglichst ein-facher Weise so zu bestimmen sucht, daß die bei wirklicher Ausfüh-rung der Division entstehende unendliche Reihe in der Form

T + T'x + T"x 2 + • • •

beginnt. Dartialbruchzerlegung und Reihenentwicklung der einzelnenPartialbrüche liefert dann sofort das gesuchte allgemeine Glied der

Reihe

7'+ T’x+ T"x 2 -\ -.

In gewissem Zusammenhang mit diesen Problemen steht auch eineMethode 3 ), die Laplace als calcul des fonctions generatrices be-zeichnet (vgl. S. 273). Unter erzeugender Funktion ist nichts weiterals die Summe einer Reihe einzelner nach demselben Gesetz entstandenerGrößen zu verstehen. Die Abhandlung selbst enthält nichts wesentlich

Neues; sie behandelt Aufgaben wie z. B. 1 . durch z auszudrücken, wenn

t’

ist, und löst sie mittels Reihenentwicklungen und Überlegungen, wie

wir sie an der geistreichen Koeffizientenbestimmung S. 1005 bereitskennen gelernt haben.

Nach Klügel a. a. O. linden sich diese Formeln angegeben bei Prony,Xouvelle Architechnique hydraulique 1790/96, t. II, Anmkg. zu § 1373. Dieletzte der angeführten Gleichungen steht auch Histoire de l’Aeademie des Sciences178K (1791), p. 582. *) Oeuvres de Lagrange, t. VI, p. 507. Die Abhand-lung ist vom Jahr 1772. *) Histoire de l'Academie des Sciences 1779 G782),

p. 207 ff.