Differenzen- und Summenrechnung.

1051

Differenzengleichungen treten in Praxis und Theorie oft auf; soim Zusammenhang mit der Bestimmung der willkürlichen Funktionender Integrale partieller Differentialgleichungen, wenn gewisse Be-dingungen zu erfüllen sind; dies hat nach Charles 1 ) zuerst Con-dorcet bemerkt. 2 ) Einen anderen Ausgangspunkt, der auf Differenzen-gleichungen führt, bilden die Funktionalgleichungen. So redu-ziert Laplace 3 ) die Gleichung

fonct. [<?(#)] = II x ■ fonct. [i|'(^)] + X x ,

wo cp, H und X gegebene Funktionen sind und die unbekannteFunktion fonct. bestimmt werden soll, in folgender Weise auf eineDifferenzengleichung: er setzt

u z =il>{%) und « J + 1 = cp{x),

berechnet aus der ersten dieser Gleichungen durch Lmkehrung

* -

und erhält so

u z + i = V ( x ) ~

Diese Rekursionsformel für u z definiert aber u, als Funktion von z ;somit können x = T’(k.) und damit auch H x und X x als Funktionenvon z dargestellt werden. Ersetzt man jetzt in der ursprünglichenGleichung x überall durch z, so entsteht eine Gleichung der Form

Vz + i= L z ■ ?/.-+ z s ,

wo y. für fonct. [m.J geschrieben ist. Ist

[fonct. (a;)] 2 = fonct. (2x) + '2

gegeben 4 ), so setzt Laplace

it.= x, h. + 1 =2x, also u z + i=~ u z>

und erhält durch Anwendung der weiteren Substitution fonct. (u,) = t,die Gleichung

' J+ i = ('.) s -2

mit dem Integral

*) Memoires presentes par divers Savans, t. X i_1786), p. 573tf. *) SieheHistoire de l’Academie des Sciences 1771 (1774 , p. 49if. und 1772, part. 1 (1775j,p. 32 und p. 57. Man vgl. hierzu auch Monge in Memoires presentes pardivers Savans, t. VII, 1773 (1776), p. 322. *) Ebenda (Mem. div. Sav.), p. 71.

Laplace behauptet, seine Methode stamme aus dem Jahre 1772, und verweist

auf die’oben zitierte Abhandlung von Condorcet aus dem Jahre 1771.

4 ) Ebenda, p. 74. Diese Gleichung findet sich schon Miscellanea Taurinensia,t. II s , 1760,61, p. 320.