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Abschnitt XXVII.
wo a eine willkürliche Konstante ist; die weitere Untersuchung bietetkeine Schwierigkeiten. Auch Charles hat Funktionalgleichungen 1 );
v(ax* + mx -f n) — Pti'(bx 2 + px + q) = R,
wo P und 1! Funktionen von x und «, m, n, b, p, q Konstante sind,geht, wenn
ax“ + mx + n = h(xu> + qp ) 2 -j- p(xm + (p) + q
ist, wo w und q zwei neue Konstante sind, unschwer in eineDifferenzengleichung über.
Die größte Anzahl von Arbeiten über Differenzengleichungen ver-dankt jedoch nicht einem praktischen Bedürfnisse ihren Ursprung,sondern vielmehr dem Umstand, daß sich sowohl alle allgemeinenGesichtspunkte als die meisten in weiterem Umfange brauchbarenIntegrationsmethoden, die bei Differentialgleichungen von Vorteil sind,mühelos auf die Theorie der Differenzengleichungen übertragen lassen.So sehen wir die Entwicklung der letzteren Theorie von den Fort-schritten auf dem Gebiet der Differentialgleichungen abhängig, durchdiese bedingt; dieser Zusammenhang ist so innig, daß häufig einerAbhandlung über Differentialgleichungen Bemerkungen über Diffe-renzengleichungen anhangsweise beigefügt sind. Am geringsten istdie Analogie bezüglich der singulären Integrale. Charles hatdiesen Begriff zuerst auf Differenzencrleichungeu übertragen 2 ) unterBerufung auf die Erklärung ihres Wesens, wie sie Lagrange ge-geben hat; er kommt zu dem Ergebnis, daß eine Diff'erenzengleichungzwei vollständige Integrale haben kann. Ist nämlich V = 0 das Inte-gral einer Differenzengleichung Z = 0, so erhält man letztere aus demIntegral, indem man die Iutegrationskonstante a aus den GleichungenV = 0 und d V eliminiert: Ö V entsteht hierbei durch Variation vonx und y bei konstantem a. Läßt man jetzt auch a variieren, so wird
AV = ä V + PAa.
Ist nun 11 = 0, so werden die beiden Gleichungen
V = 0 und ö V = 0
wieder genau dieselbe Gleichung Z = 0 liefern, wie zuerst auch, undes ist bei diesem Eliminationsprozeß ganz gleichgiltig, ob a konstant
*) Histoire de l’Acad^mie des Sciences 1786 (1788 1 , p. 695.1783 (1786), p. 560.
*) Ebenda,