Differenzen- und Summenrechnung.

1053

ist oder nicht. Das singuläre Integral ergibt sich dann durch Eli-mination von a aus V = Ü und II = 0. Bis hierher ist die Analogiemit den Differentialgleichungen vollständig; jetzt kommt aber ein be-deutsamer Unterschied: während man nämlich bei den Differential-gleichungen die Größe a unmittelbar aus i? = 0 berechnen kann,enthält diese Gleichung bei den Differenzengleichungen neben a imallgemeinen auch noch die Differenz An. Um a eliminieren zu können,ist daher die Integration von 11 = 0 erforderlich; infolge dieses Pro-zesses geht aber eine willkürliche Konstante in das singuläre Integralein. Charles erläutert das Gesagte an einigen Beispielen. Das voll-ständige Integral von

o o

a , Av

(jy = xAy + in .,

wo Ax, die Differenz von x, konstant und gleich </ ist, lautet

yy

2nax + er.

Daraus ergibt sich

Ay

Dia,

wenn a konstant ist, hingegen

Ay = 2na + —^[2n(x + y) -f- 2a + AnJ,

wenn a ebenfalls variiert. Zur Bildung des singulären Integrals er-hält man also die Bedingung

Hieraus folgt

2n{x + y) + 2a -f An = 0.

X X

- o(_ 1)» - 6 + «(- l) 7 [y + ®],

wo b eine willkürliche Konstante bedeutet, und damit endlich

fl y = — >C.r 2 +

gn

+ K-

- 1 )

Charles weist auch noch darauf hin, daß man aus dieser Gleichungbei Anwendung desselben Prozesses wieder

yy = 2nax + a 2

erhalten würde, d. h. daß das singuläre Integral des singulären Inte-grals das ursprüngliche vollständige Integral ist. Später sucht Charlesauch bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, die er als Grenzfall

l ) Die Herleitung setzt voraus, daß

x

Jx

eine ganze Zahl ist.