Differenzen- und Sumineureclinung.

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die x selbst also keine arithmetische Reihe 1. Ordnung bilden. DieseMöglichkeit hat anscheinend zuerst Monge berücksichtigt, der durchseine Untersuchungen über die willkürlichen Funktionen bei partiellenDifferentialgleichungen auch auf die angeblich von Euler entdecktenwillkürlichen Funktionen bei Differenzengleichungen geführt wird.Hierbei stellt sich Monge die Aufgabe 1 ), die Gleichung

A y + Ay -f Jl = <>

vollständig zu integrieren, wenn Ax 1. konstant = a : 2. = h hx\3. = ax n — x ist. Im ersten Fall ergibt sich

X

Ay -f- B = (1 — A) a X cp (sin ~ k cos

wo cp eine willkürliche Funktion von zwei Veränderlichen ist; im2. und 3. Fall sind die Integralgleichungen wesentlich komplizierter;Monge benutzt zu ihrer Herleitung die Substitutionen

bzw.

(i + hx = c'’, d. h. A io = lg(// -fl),x" — e'' 1 , d. h. Ao = (m — 1) io -f- n lg a,

die Logarithmen ins Resultat einführen. Ausführlicher und allgemeinerist die Voraussetzung variabler Ax von Lorgna behandelt, der Axgleich irgend einer Funktion X von x setzt 2 ) und die Folgen dieserAnnahme eingehend untersucht. Die Reihe y, y, y", ... ist dann da-durch definiert, daß jeder Term aus dem unmittelbar vorhergehendendurch Substitution von x + X an Stelle von x hervorgeht. Analoggehe in der Reihe X, A', X", . . . jedes Glied aus dem vorhergehen-den dadurch hervor, daß man x durch den „Modul“ x -j- X ersetzt.Dann kann, wie leicht ersichtlich, ;/W auch unmittelbar, d. i. ohneZuhilfenahme der Terme • . • aus y erhalten werden, indem

man für x die Summe

x + X + X'+ • • • -F

substituiert. Lorgna findet noch andere Beziehungen; so stellt erdie yW und mit deren Hilfe schließlich auch die Differenzen vony beliebiger Ordnung durch

i + Ä f A" H- b A - *)

l ) Memoires presentes par divers Savans. t. IX (1780), p. 357. Dieser Aui-satz wurde 1774 der Akademie vorgelegt. *) Memorie di Mat. e Fis. Soe.

It., t. I, 1782, p. 370 ff.