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Abschnitt XXVII.

dar, was bei Benutzung des Taylor sehen Satzes leicht gelingt. Erbenutzt die betr. Formeln zur Integration der linearen Gleichung

<F = 'iy + J*y'+ Cy"-\ -,*)

ui der cp eine Funktion von x bedeutet, bei variablem Ax = X.Pietro Paoli, der Lorgnas Arbeiten kennt und auch zitiert, be-handelt ebenfalls den Fall variabler Ax. Sei eine Gleichung 21 = 0zwischen x, y x und deren Differenzen gegeben, ferner

Ax = cp(x) — x . 2 )

Paoli verlangt nun x = p. und cp (x) = p z + 1 , woraus

P 1 + 1 = <P (PR-AXIS dieser Gleichung kann aber bei gegebenem cp die Funktion p, = xermittelt, somit x und seine Differenzen durch z ausgedrückt werden;dadurch geht y x in eine Funktion t t von z und die ursprüng-liche Gleichung 3/ = 0 in eine neue zwischen t und z über, wobeijetzt die Differenz von z konstant und zwar gleich 1 ist. Paoli hatdamit nachgewiesen, daß der Unterscheidung von variablen und kon-stanten Ax keine prinzipielle Bedeutung zukommt.

Von speziellen Gleichungen wurde naturgemäß zuerst die lineareGleichung in Angriff' genommen. Hier ist an erster Stelle ein Auf-satz von Lagrange aus dem Jahre 1759 zu nennen. 3 ) Bezüglich derGleichung

Ay + yM = X,

wo wir A statt d geschrieben haben, und wo 21 und N Funktionenvon x bedeuten, erinnert Lagrange an die Integration der Differential-gleichung

dy + yXdx = Zdx,

die er nach folgender Methode behandelt: er setzt y = uz undspaltet in

zdu + itzXdx = 0 und udz = Zdx]daraus ergibt sich

u = erJ x ' ls und // = uz = u

Auf dieselbe Weise läßt sich auch

l ) Memorie di Mat. e Fis. Soc. 1t., t. I, 1782, p. 409. Lorgna verweistauf die entsprechende Integration bei konstantem Ax durch Lagrange in denTuriner Miszellen und den Berliner Memoiren. s ) Memorie di Mat. e Fis.

Soc. It., t. IV, 1788, p. 455. 8 ) Miscellanea Taurinensia, t. P (1759), p. 33 tf.

JeJ Xdx - Zdx

JXäx