Differenzen- und Summenrechnung.

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y“ = p‘x y“ 1 = p“, . . p n = q 1 - p ul = q“ f . . .ergeben nämlich

y 1 + (A + a)p' + ( B + b)q‘ + • ■ • — ay 11 — bp n — cq 11 — ■ ■ ■ = X .Die Gleichungen

A+a = b B+b = -- ...

a a 7

liefern wieder

a" + Aa n ~ 1 + Ra " -2 -f- • ■ • = 0,und die Transformation

y‘ + (-1 -f a)p‘ + {B + b)q l d- = z

führt zu

z‘ - az" = X;

die n Werte von a liefern wieder n Integrale z, und y selbst ergibtsieh wieder aus n linearen Gleichungen. Laplace, der sich aufCondorcets allgemeine Untersuchungen über Differenzengleichungenund Eulers Integralrechnung beruft 1 ), behandelt sodann die Gleichung

X x = M x if 4- V x Ay + A 2 ?/’ -f ■ ■ •

mit nichtkonstanten Koeffizienten und überträgt auf sie, nachdem ersie mittels der Relationen

A y r = y x + I — y x -, AG/* = " — 2// r + / -f y x - usw.

auf die Form

X x = if 4 - H x ■ y x + I + 'H x ■ if + I1 H-

gebracht hat, seine Methode für die entsprechende DifferentialgleichungI vgl. S. 961); die Aufgabe reduziert sich auch hier auf die Integrationeiner Gleichung nächstniederer Ordnung und eines Systems vonGleichungen der Form

a x y r + i -| - y* — T x .

Letztere Gleichung läßt sich aber auch y x+1 = Bftf + Z x , d. i. alsRekursionsformel für y schreiben; durch sukzessive Substitutionergibt sich endlich

1{ ^ H R' ^

+

Z x

b ir

R

-)■

Laplace stellt diesen Ausdruck mit Hilfe der Zeichen X und V fürSumme und Produkt dar und bemerkt, daß auch für Differenzen-

*) Miscellanea Taurinensia, t. IV S , 1766 «59, p. 300ff.

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