1062

Abschnitt XXVII

gleichungen das „Theorem von Lagrange“ gilt, d. h. daß die Inte-gration der Gleichung

X r = if + H'if + I -\ -

auf die von

0 -.»/'•+ i/'y r + / + • ■ •

hinauskommt. 1 ) Bald darauf behandelt Laplace die Aufgabe nocheinmal; er zeigt zuerst, daß die konstante Differenz zwischen den xunbeschadet der Allgemeinheit immer gleich 1 genommen werdenkann. 2 ) Zur Vorbereitung der Aufgabe integriert er

mittels der Substitutiondie sofort auf

und damit auf

14 = H r ■ f A x

14 = »,• V//„

A. r

'4 ~ ' 4-1 +

V/7

„ -t- V * + 1

1 1 / V H

führt. Laplace wählt diese wenig motivierte Substitution wohl des-halb, weil sie am raschesten zu dem schon längst bekannten Resultatführt. Die Gleichung

.'4 “ ■ !4-i t + • ■ • + "~ l n z y x - n + X,

bewältigt er mit Hilfe der Annahme

'4 = «* • .'4-1 + T x>

a x und T x sind einstweilen noch unbestimmt. Diese Gleichung liefertmit den gleichwertigen

14-1 ~ a x - 1 ■ 14-2 “h -IT- 1 • • • •> y. r-n + 1 = a x-n + \ y*-n + ^x-n +1

nach Multiplikation bzw. mit 1, — 1 ß, — *ß f . . . und Addition dieBeziehung

14 = T«, + J ■ 14-1 + I - 'ß«x -1 + ' J ß I • 14- 2 -!--“" l ß <4-,+1 • 14-„

+ T t - , - *ßT x _, -«- 1 /! • T x _ n+l]

In dieser Gleichung werden jetzt die Größen l ß, ä /3, ... so bestimmt,daß Glied für Glied mit der gegebenen Differenzengleichung über-einstimmt. Dann ergeben sich neben

') Miscellanea Taurinensia, t. IV1760 09, p. 309. *) Memoires presentes-

par divers Savans, t. VII, 1773 (1776), p. 40.