Differenzen- und Summenrecbnung.

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T x - x ßT z _ x + *ßT x _ a + ■■■ + “~ 1 ßT x _„_ i . 1 + A„noch n Bestimmungsgleichungen für die n — 1 Größen

und man erhält durch ihre Auflösung nach ji der Reihe nach:

'ß = H x ~

’ß = ' H x — “x-l ■ li x - li x • “x-1

:s ß = *H X - u x _, ■ l H x + • a x _ a ■ H x - a x ■ a x _ t ■ a x _,

n-iß = _ a x _ n + , ■ "~ 3 H X H- a x - a x _ l . . . a x _, l+i .

Die n te Gleichung war

_m-m . a = •

P u x-n+l J *x1

so daß n ~ 1 ß auf zweierlei Arten dargestellt werden kann; durch Ver-gleichung ergibfsich

H r ■//, , H X H ~ lfI x

0 == |^_- c _ x _ * _ 1

a x “x a x-l “x- a x-l “x-2 “*••■“*-«+1

Ist aus dieser Gleichung eiu Wert von « ermittelt, so lassen sichdie ß unmittelbar angeben; dann ist noch T x aus der oben an-geführten Differenzengleichung zu bestimmen, die bezüglich ihrerOrdnung um 1 Grad niederer ist als die ursprünglich gegebene.Laplace bringt als Beispiele die bekannten Aufgaben, den Sinuseines vielfachen Arguments durch die Potenzen des Cosinus des ein-fachen Arguments auszudrücken, sowie das Bildungsgesetz der höheren1 )ifferentialquotienten von arcsin x zu entwickeln. x ) In einem Auf-satz 2 ) in den Berliner Memoiren vom Jahre 1775, an den späteru. a. Malfatti anknüpft 3 ), beschäftigt sich endlich Lagrange speziellmit der Gleichung mit konstanten Koeffizienten

Ay x + -HUx+l + ' ' ■ + ^ Ux + n =

d. i. mit dem sogenannten Problem der rekurrenten Reihen, bringtdie diesbezüglichen Gleichungen in bequeme, handliche Form undberücksichtigt auch den Fall mehrfacher Wurzeln der charakteristischenGleichung

A -r Ba + ■ • • + Na“ = 0;

diesen Fall betrachtet er übrigens auch noch in einer späteren Ab-

*) Memoires presentes par divers Savans, t. VII, 1773 (1776), p 65 bzw. 08.-) Oeuvres de Lagrange, t. IV. p. 151 ff. s ) Memorie di Mat. e Fis. Soc. It.t. Iil, 1786, p. 571 ff.