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Abschnitt XXVII.

handlung von einem neuen Gesichtspunkt aus. 1 ') Die Behandlung derGleichung mit konstanten Koeffizienten bei variablem A x durchLorgna haben wir bereits erwähnt; außer der linearen Gleichungkonnte hier keine andere höherer Ordnung oder höheren Grades (vgl.das Beispiel von Monge S. 1054) Beachtung finden. 2 )

Für die Untersuchungen auf dem Gebiet der partiellenDifferenzengleichungen wurde eine Arbeit von Laplace grund-legend; dieser ist nach eigener Aussage 3 ) durch Aufgaben aus derWahrscheinlichkeitsrechnung auf das Problem der „rekurro-rekurrentenReihen“, wie er sich ausdrückt, geführt worden. Seien folgendeGleichungen gegeben: 4 )

y + a y-> 4 - n y- 2 H-4- A T = 0

y j- a" y- 1 + ir y - 2 + • ■ • + n"

= H" y + m" y - 1 + i>" y- s i—

y + ä"y~ x + B"' y - 2 h -h N’"'

- //'"v + j/"'y-' + + ■ •.

(1) y + A” y- 1 -f- B" y - 2 H-h K n

= H “ n -y + 3 / , "‘-y- 1 + P" «-y-ä

Laplace zeigt nun, daß man (1), die letzte dieser Gleichungen,stets auf folgende Form bringen kann:

(2) y = a n y- 1 + b“ y- 2 -f- c n y- 3 + • ■ + «";

hierbei sind a n , b n , c“, . . . «" Funktionen vou n. Aus (2) ergeben sichsodann die speziellen Gleichungen

H” n - y = //»(««-1-y- 1 4. b’>- i-'-y-i 4 ... 4 „«-i,

3/"”-y-> = 3/'‘(y - 1 —y - 2 + 6 "-i«-y-» -|_ ... 4 M »-i)

P",.-y-s - *-')!'-* 4 j«- i «-y -4 4 ... 4 „«-i,

Addition und Anwendung von (1) liefert

*) Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 627ff. (Berliner Memoiren 1792 93).

*) Man vgl. die Notizen von Monge in dem bereits zitierten Aufsatz Histoirede l’Academie des Sciences 1783 (1786), p. 725ff. (gelesen 1785) und Trerubley,Nouveaux Memoires de l’Acadümie de Berlin 1799/1800 (1803). s ) Memoirespräsentes par divers Savans, t. VII, 1773 (1776), p. 39. Hier findet sich einkurzer Überblick über die Geschichte der Differenzengleichungen. Man vgl.auch Histoire de l’Academie des Sciences 1779 (1782), p. 207 ff. 4 ) Memoirespr^sentös par divers Savans, t. VI (1774), p. 354.