Differenzen- und Summenrechnung

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Y + A K Y ~ 1 + B" Y ~ 2 + • • • + A r "

= a n ~ HY " 1 -I - A” Y “ 5 t -b N n \

+ b n ~ l (Y ~ 3 + A "”)/- 3 + • • • + N“)

+.

+ u "~HH” + M” + P" ■ • ■)•

Soll diese Gleichung mit (2) identisch sein, so muß:a « = 1 _

b" = b ”~ 1 + a n ~ l A” — B”c “ = c ”- 1 + b"- 1 A" + — C"

u n = u”- 1 (H u + M" 4- P" -j-) — A T "(1 — a’ 1 - 1 — b"~ l

Das Problem ist damit, genauer nach Bestimmung der a”, b", c n , . . . u",auf die Integration des Systems der Gleichungen (2), d. i. einesSystems gewöhnlicher Differenzengleichungen zurückgeführt, die keineprinzipielle Schwierigkeit mehr bietet. In einer späteren Abhandlung 1 )behandelt Laplace das spezielle System (equation rentrante enelle-meme)

yj + +

By; + l + 'By-tl + a By' + 3 +

wo i von 1 bis n läuft, und für y' 1 * 1 wieder y l zu setzen ist; eruntersucht sodann kompliziertere Annahmen und bringt Anwendungenauf die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von späteren Arbeiten aufdem Gebiete der partiellen Differenzengleichungen sei, abgesehen vonLagrange 8 ), nur noch eine Abhandlung 3 ) von Paoli erwähnt, derals Beispiel die Frage untersucht, wie oft sich eine gegebene Zahlals rrgdiedricre Summe von Termen der natürlichen Zahlenreihe oderüberhaupt einer arithmetischen Reihe darstellen läßt. 4 )

Endlich sind noch Gleichungen zu erwähnen, die zu gleicherZeit Ditferentialquotienten und endliche Differenzen enthalten; [der-artige Gleichungen treffen wir bei Laplace, 5 ) Lorgna 6 ) und Paoli 7 )In gewissem Sinne kann man auch eine Aufgabe 8 ) von Euler hierher

*) Mdmoires presentes par divers Savaus, t. VII, 1773 (1776), p. 79. Im Textwurden die einzelnen Gleichungen des Originals durch einen Index i zusammen-gefaßt. *) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 165fF. *) llemorie di Mat. eFis. Soc. It., t. II, part. 2, 1784, p. 787 tf. 4 ) Ebenda, p. 817 bzw. 829.

®) Histoire de l’Academie des Sciences 1779 (1782), p. 302. Hier sind diefonctions generatrices benutzt. ®) Memorie di Mat. e Fis. Soc. It., t. IV, 1788,p. 156ff. 7 ) Ebenda, t. V, part. 2, 1790, p. 575. Hier ist auf die LaplacescheMethode der erzeugenden Funktionen verwiesen. *) Novi Commentarii Aca-

demiae Petropolitanae, t. XVI, 1771 (1772), p. 140tf.