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Abschnitt XXVII.

rechnen, eine Kurve von der Eigenschaft zu linden, daß die Halbierungs-linie des Winkels, den eine beliebige Kurventangente mit einer festenGeraden bildet, eine Kurvennormale ist (vgl. S. f>15); auf die Euler -sche Behandlungsweise kann hier nicht eingegangen werden.

Variationsrechnung.

Die Variationsrechnung hatte durch Euler einen gewissenAbschluß gefunden, doch verdient sie in diesem Zustand den NamenBeehnung noch nicht, weil geometrische Überlegungen zu sehr imVordergrund der Untersuchung stehen, die ganze Behandlungsweiseauch noch nicht einheitlich, umfassend genug ist, um auf jedesProblem sofort angewandt werden zu können. Diesen Übelstandüberwand erst Lagrange mit Hilfe eines neuen Algorithmus, dereine vollkommen gleichartige, systematisch rechnerische Behandlungaller Variationsprobleme ermöglicht. Der Fortschritt war so be-deutend, daß Lagrange die Grenzen der Integrale als variabel an-sehen und auch Doppelintegrale behandeln konute. Lagrange teiltenach eigener Aussage seine Methode schon 1755 Euler mit und fanddessen Beifall; 1 ) veröffentlicht hat er sie erst 1762. 2 ) Nach kurzemgeschichtlichen Überblick entwickelt Lagrange seinen Grundgedanken,daß nämlich die Variationsrechnung kein anderes Prinzip erfordereals den Gebrauch der Differential- und Integralrechnung (wie die ge-wöhnliche Maxima- und Minimaberechnung auch), nur habe er, damitdie beiden auftretenden Variationen (die infolge der Maximalbedingungund die bereits vorhandenen Differentiationen) nicht verwechseltwerden, eine neue „Charakteristik“ d eingeführt. So stelle ÖZ eineÄnderung von Z dar, die nicht das Nämliche sei wie dZ, aber dochnach denselben Kegeln gebildet werde; neben einer GleichungdZ=möx (verdruckt für dx) bestehe also in gleicher WeisedZ=mdx. Ohne weitere Ausführung oder Begründung schreitetLagrange sofort zu folgender Aufgabe: Z sei eine Funktion von

x, y, z, dx, dy, dz, d 2 x, (Py, iPz.. . .,

man soll die Bedingung finden, daß f Z ein Maximum oder Minimumwird. Nach der „bekannten Methode“ der Maxima und Minima hat

*) Miscellanea Taurinensia, t. IV*, 1766 69, p. 163. Vgl. hierzu Cantor,Zeitschrift für Math. u. Phys. (2i 23 (1878), hist.-lit. Abtlg. 1. s ) MiscellaneaTaurinensia, t. II 1 , p. 173—195. Diese Abhandlung mit der von 1770 und derLegendres von 1786 in Ostwalds Klassikern der exakten WissenschaftenNr. 47; diese Ausgabe wurde im folgenden wiederholt benutzt.