Variationsrechnung.

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inan, sagt Lagrange,. das gegebene fZ zu „differentiieren“, wobeidie Größen

x, fi, z, dx, dy, dz, <Px, iPy, d-z, . . .

als variabel anzusehen sind, und das so entstehende Differential gleichNull zu setzen; bezeichnet man diese Variationen mit d, so erhältman zunächst

df'z = 0,

oder, was dasselbe ist,

fdz = o.

Diese Stelle ist von großer Wichtigkeit; sie erklärt, warum Lagrangekeine eingehendere Begründung seines Algorithmus bringt: Er erblicktdarin keine neue, von der gewöhnlichen Maximabestimmung prinzi-piell verschiedene, sondern die schon längst geübte, „bekannte“ Me-thode; nur enthält eben der Ausdruck jZ bereits Differentiale, undes müssen daher, lediglich um „Verwechselungen“ zu vermeiden, dieneuerdings notwendigen Differentiationen anders, also etwa durch dasZeichen d ausgedrückt werden. Diese Auffassung erklärt auch, warumLagrange den im folgenden oft benutzten Satz von der Ver-tauschbarkeit der Symbole d und d nicht beweist: d und d sind zweiverschiedene Differentiationen, die ganz unabhängig nebeneinanderhergehen. Ist nun Z so beschaffen, sagt Lagrange, daß

d Z = n d x + p d dx + q d d i x + r d d?x + • • ■

+ Xdy + Pdd// + Qöd 3 y + ■ • • -t- vdz + xdds + %öd~z + ■ • •

so kommt

/ nöx + /pödx + / qdd i x + • • ■

+J X d y ~rj P d dy + / QÖ d 2 y H-

-r I vdz + f xddz + I %öd 2 z +■■■ = 0.

Aber man sieht leicht

ö dx = döx ; d d 2 x = d~dx usw.;überdies findet man durch partielle Integration

I pddy = p dx — / dp dx-, j q d~dx = </ d d x — dqdx + / ilrqöx ; usf.Damit wird