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Abschnitt XXVII.
j (« — dp + d 2 <j — cPr + • • •) dx -f / (LY — dP + d 2 Q — d s R -f • ■ • I dy+j\v — da + d'i — d 3 Q -f • • -)dz
-)- (jp — dq + (Pr — • ■ •) dx + (q — dr + • ■ •) ddx + (>'—•••) d 2 dx + • •■q- (P — d(J -i- d 2 R — • ■ •) dy + (Q — dR -f • ■ )ddy
+ (R — • ■ ■) d i d y 4- • • •
4 - (x — d% 4- d-{) — • • •) 6z -f (i — dg + • • •) ddz
+ (? — •••) d 2 6z -(-••• = 0.
Lagrange trennt diese Gleichung in zwei; die erste „unbestimmte' 1Gleichung erhält alle Glieder, die unter Integralzeichen Vorkommen,die andere bestimmt alle übrigen Glieder. Letztere Gleichung bringt
Lagrange mit den Grenzen des Integrals / Z in Zusammenhang; um
die gefundenen Gleichungen von den Größen dx, dy, . . . zu befreien,hat man zu prüfen, ob der Natur des Problems nach zwischen ihneneine Beziehung besteht; 1 ) sind sie dann mit deren Hilfe auf diekleinste Zahl zurückgeführt, so sind die Koeffizienten der noch vor-handenen Größen dx, dy, . . . gleich Null zu setzen. Sind sie voll-ständig unabhängig voneinander, so kommt
n — dp -+- d 2 (j — d s r -j- • • • = 0;
X-dP -+- d*Q - (PR + • • • = 0: v - da + d 2 X - <i s Q + ••■-<>.
Nach Untersuchungen über die Brachistoehrone überhaupt unddiejenige auf einer gegebenen Oberfläche weist Lagrange nach, daßvon den letzterwähnten drei Gleichungen immer eine die Folge der
beiden andern ist 2 ), und wendet sich sodann der Aufgabe
einem Maximum oder Minimum zu machen, wenn Z außer denVariabein x, y, z und ihren Differentialen auch noch das Integral
II = j Z' enthält, wo Z' aus den nämlichen Veränderlichen und ihrenDifferentialen sich zusammensetzt. Diese Aufgabe, sowie das Problemder Maxima-Minimabestimmung von j ‘z, wo /f durch eine Differential-gleichung 1. Ordnung definiert ist, hat schon Euler behandelt undgelöst, was Lagrange ausdrücklich anerkennt, der auch den Falleiner Differentialgleichung 2. oder höherer Ordnung für Z bespricht.
*) In der Mecanique analytique von 1788, p. 45—46 hat Lagrange denKall von Nebenbedingungen durch Einführung unbestimmter Multiplikatoren aufdas Problem ohne solche reduziert. s ) Miscellanea Taurinensia, t. 1I S , p. 182.