Variationsrechnung.

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Um die Brauchbarkeit seiner Methode zu erläutern, leitet Lagrangedie Bedingungen her, daß eine Fläche von allen denen, die denselbenUmfang oder aber gleiches Volumen haben, die kleinste ist, und be-weist 1 ) den Cramerschen Satz, daß das flächengrößte Polygon vongegebenen Seiten einem Kreise einbeschrieben ist, aufs neue, des-gleichen zeigt er, daß unter allen Polygonen gleichen Umfangs 2 ) dasreguläre den größten Inhalt besitzt. Eine weitere Abhandlung 3 )bringt Anwendungen der Variationsrechnung auf die Dynamik; hierfindet sich gleich zu Beginn der Eulersclie Satz, daß das Integralder in das Bahnelement multiplizierten Geschwindigkeit eines Massen-punktes ein Maximum oder Minimum ist, auf ein Massensystem aus-gedehnt, doch ist der dabei vorzunehmende Variationsprozeß nichtgenau definiert, was in der Folge zu Mißverständnissen Anlaß gab 4 ).Überhaupt fand der neue Kalkül außer bei Euler zunächst wenigVerständnis; in einer schon erwähnten Abhandlung 5 ) erhob Bordaverschiedene Bedenken gegen die Behandlung des Brachistochronen-problems durch Lagrange, die diesen zu einer nochmaligen ge-naueren und allgemeineren Auseinandersetzung in seiner sogleich zuerwähnenden zweiten Abhandlung veranlaßten; ganz ungerechtfertigtsind die Angriffe von Fontaine 6 ), der seine eigene Methode, dienur Eulersclie und Lagrangesche Ideen in höchst unübersicht-licher Weise mit den Punkten der Fluxionsrechnung und dem Zeichen </nebeneinander ausdrückt, allen anderen überlegen hält. Euler hatin verschiedenen Abhandlungen die Lagrangesche Methode ausführ-lich auseinandergesetzt, und neben der Regel öd = dö verschiedenealte Sätze (vgl. S. 904) neu bewiesen 7 ); interessanter ist sein Versucheiner geometrischen Deutung des Variationsprozesses 8 ) und die daraufberuhende Herleitung der betr. Rechnungsregeln. Die Variations-rechnung — dieser Name stammt von Euler —, sagt er, scheintzunächst eine völlig selbständige Rechnungsart zu sein, und dem-

*) Hierbei kommt Lagrange auf die Variationsrechnung für endlicheDifferenzen zu sprechen; an diese Stelle hat dann Condorcet wieder an-gekniipft. *) Über isoperimetrische Probleme handelt u. a. ein Aufsatz vonPaolo Frisi , Novi Commentarii Aeademiae Petropolitanae, t. VII, 1(358/50(17(31), p. 227ff. Der Lagrangesche Algorithmus ist hier noch nicht benutzt.s ) Miscellanea Taurinensia, t. II 2 , p. l‘J(!—298. 4 ) Wegen der Geschichte des

Prinzips der kleinsten Wirkung vgl. man Ostwalds Klassiker a. a. 0., Anmkg. 9,ferner Suter, Geschichte der mathematischen Wissenschaften, Zürich , 2. Teil,S. 373ff. 5 ) Histoire de l’Academie des Sciences 17G7 (1770), p. 551 ff.

6 3 Ebenda, p. 588 ff. 7 ) Novi Commentarii Aeademiae Petropolitanae, t. X,

1761 (1766), p. 94 ff. (Ebenda, p. 156 ff. über die Tautochrone im widerstehendenMittel.) Endlich Institutiones calculi integralis, vol. III, Anhang, p. 461—596.

®) Novi Commentarii Aeademiae Petropolitanae, t. XVI, 1771 (1772), p. 35ff.