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Abschnitt XXVII.

gemäß führt auch Lagrange ein eigenes Zeichen ö ein, zum Unterschied von der Differentiation, die durch d bezeichnet wird. Euler stellt sich die Aufgabe, die Variationsrechnung auf die Prinzipiender Infinitesimalrechnung allein zurückzuführen und zwar durch Ein-führung einer Ililfsvariabeln f, die als Parameter einer Kurvenscharmit den laufenden Koordinaten x und y gedeutet wird. Er denktsich mit anderen Worten y als Funktion von ,r und der neuen

Variabein /; dx^^j stellt daun die eigentliche Differentiation dy,

die Variation dy von y dar; Variation ist also nichts als partielle Dif-ferentiation nach t. Im folgenden führt Euler die wichtigsten Auf-gaben der Variationsrechnung auf Grund seiner neuen Auffassungauf wirkliche Differentiationen nach t zurück und befreit sich dannvon der Variabein t schließlich wieder in geschickter Weise durchpartielle Integration 1 ); die Endresultate treten in der gewöhnlichenForm auf wie sonst auch. Von Anwendungen der Variationsrechnungseien eine Abhandlung Eulers von 1770 über Kaumkurven mit einerMaximal- oder Minimaleigenschaft 2 ), ferner Untersuchungen desselbenForschers über Brachistochronen, wenn die wirkenden Kräfte nichtin einer Ebene liegen, und über Brachistochronen im widerstehendenMittel erwähnt 3 ).

In einer Abhandlung vom Jahre 1770 4 ) ist Lagrange wiederauf die Variationsrechnung zurückgekommen; er geht von allge-meinen Gesichtspunkten aus, die alle Spezialuntersuchungen seinesersten Aufsatzes gleichzeitig umfassen. Es sei cp die Funktion, vonder man die Variation dcp finden will; cp soll durch eine Differential-gleichung von irgend einer Ordnung zwischen cp, x, y, und

den Differentialen dieser Variahein gegeben sein. Heißt diese Glei-chung <!> = (), so wird d<P = 0-, ö <I> wird gebildet, indem man jededer Größen cp, x, y, . . . dtp, dx, dy, . . ., aus denen sich die Funktion d>zusammensetzt, als besondere Veränderliche ansieht. Indem Lagrangedie Operation der Variation wirklich ausführt, kommt er nach Multi-plikation mit einer nachträglich passend bestimmten Hilfsgröße £und partieller Integration auf eine Gleichung der Form

II -r / W = const.,

welche die Grundlage der weiteren Untersuchung bildet. Hierbei ist

') Novi Couimentarii Academiae Petropolitanae, t. XVI, 1771 (1772), p. 42.43. *) In den Memoires de l'Academie Imperiale des Sciences de St. Peters-

bourg, t. IV, 1811 (1813). 3 ) Ebenda, t. VIII, 1817 18 1822), p. 17—28 bzvv.

p. 41—45. (Aus dem Jahre 1780.) 4 ) Miscellanea Taurinensia, t. IV 2 , 17GG GO,