Variationsrechnung.

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v /''= Pö(f + (Jdx + Pdy + Sdz + • ■ •.wo die Koeffizienten 1‘, Q, li, S, . . . sich in bestimmter Weise aus <J>berechnen lassen. Die Bedingung dtp = 0 für das Maximum oder

Minimum von tp führt nun nach einigen Überlegungen bezüglich

des Integrals j auf die

tegrals j 7 l f auf die GleichungQdx + lidy -j- Sdz + • • • = 0,

der Grenzen

die je nach Zahl der Relationen zwischen den dx, dy, dz, ... inweniger oder mehr Einzelgleichungen zerfällt. Lagrange bringtspäterhin 1 ) einen einfachen Beweis seines Theorems, daß eine dieserEinzelgleichungen immer die Folge aller übrigen sei. Er benutzthierzu den Umstand, daß in der gegebenen Differentialgleichung 0 = 0der Ausdruck 0 immer auf die Form 0 = Hdx'" gebracht werdenkann, wo A eine Funktion der Veränderlichen (p, x, y, z, . . . undihrer Abgeleiteten nach x bedeutet. Dann ist

Ö0 = m Zdx"'- 1 d dx + dx m d A;

wegen 0 - 0 ist aber auch — = 0, also d 0 = dx M dZ. Sei nun

O 1

7i d q + Ti d

9 dy + Qd

dz

d.r

- r 0 dz + a’ d

+ rdx,

so wird man nach Multiplikation mit %dx m und partieller Integration(wobei nur die Größen dx, ddp, dz, . . . unter dem Integralzeichen

bleiben dürfen) wieder auf den Ausdruck 77 + ) ‘‘V stoßen. Lagran

zeigt nun, daß der Ausdruck 77 identisch Null wird, wenn man dasZeichen d durch d ersetzt; er betrachtet zu diesem Zweck die ein-zelnen Glieder von d Ttdcp ist keiner partiellen Integration derverlangten Art Fähig, es wird daher ganz unter dem Integralzeichen

bleiben. Das Glied a'd^,^ win

öd<p dq> ödx. dx dx 8

\

1; nach Mul

d zuerst 7t'

d x

tiplikation mit %dx’“, Vertauschuug von ddtp, ddx mit ddcp bzw.ddx und partieller Integration erhält man als Glied außerhalb des

Integralzeichens den Ausdruck %tt' dx m ( ä ,' f — der,

dx dx i )

wie un-

*) Miscellanea Tauriuensia, t. IV S , 1766/09, p. 175