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Abschnitt XXVII.
mittelbar ersichtlich, bei Verwandlung von d in d identisch verschwindet. Gleiches ergibt sich für die übrigen Glieder von ÖZt,d. h. es wird, wenn man d in d verwandelt, II immer zu Xull und
damit j U 1 = const., also V F = 0. Ersetzt man also in dem Ausdruck
d r = Pd<p + Qdx -\- llöy Sdz P ■ ■ ■ das Zeichen Ö durch d t so
wird identisch Pdq> -f Qdx + Udy + Sdz -f ■ • • = 0, d. h. eine von
den Maximum-Minimumbedingungen ist eine Folge der andern.Lagrange knüpft hieran die Bemerkung, daß die Möglichkeit, <J> inder Form Zdx m vorauszusetzen, für den Beweis wesentlich war, undweist darauf hin, daß bei Differenzengleichungen diese Voraussetzung
im allgemeinen nicht zutrifft. Endlich wird die Aufgabe, <p =J Zzu einem Maximum oder Minimum zu machen, wenn Z selbst wiederIntegralzeichen enthält, mit Hilfe der vom Integralzeichen freienDifferentialgleichung für y gelöst, und das Problem der Brachisto-chrone nochmals eingehend behandelt.
Die Frage, ob im einzelnen Fall ein Maximum oder ein Minimumvorliegt, wurde nach einem mißglückten Versuch von La place 3 ) vonLegendre behandelt, aber erst Jacobi gelang es, hinreichende Kri-terien hierfür aufzustellen. Als einfachsten Fall untersucht Legendre
O
„die Variation zweiter Ordnung 1 ' 2 ) von / vdx, wo v eine Funktionvon x, y und p = allein ist. Er findet unter der Annahme dx = 0mit Hilfe des Taylorschen Satzes
wofür zur Abkürzung
df +
dev
zdydp
2 i) yd)> -f
CCv'2 cp 1
I dx( PÖy- 2Qöydp -f- 7 t d p- \gesetzt wird. Dann ist identischd Ivdx = const. — udy' 2
-r Jdx [(7' -j- 'J“)di/ a + 2(Q + u)dydp + i/dp 2 ],wo u beliebig ist. Legendre nimmt nun ci so an, daß sich der Aus-
*) Nova Acta Eruditorum 17 72, p. 293.
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