Abstand 7

[ki und li und der Winkel kil = a bekannt, und hieraus läßt sich durch ebeneTriaonometrie daS Quadrat von kl finden, denn es ist:

I ki*4-il* — 2 ki. il. cos. « = kl*.

Betrachtet man nun ac als Sehne des Bogens ac , so ist der Winkelcad ein Winkel des Halbkreises -90°, der Winkel dik ist aber ebenfalls^90°, da id sich auf der Ebene des Aequators senkrecht befindet, mithin Drcrcckdik co Dreieck dca

demnach di:dk = da:dc;auch di. dc = dk . da.

Dasselbe gilt auch für den Ort b, und es läßt sich auf ähnliche Weiseschließen, daß , ■ •

di. dc = dl. db •

Es ist demnach, da zwei Gleichungen einer gemeinschaftlichen drittengleich sind,

auch dk. da — dl. db,und dk, dl = db . da.

Es stehen demnach in den geradlinigen Dreiecken dkl und dab, die Sei-ten , welche den gemeinschaftlichen Winkel adb begrenzen, in Proportion,die Dreiecke sind demnach einander ähnlichund db : ba = dk ; kl

,, ,, ha.dk

also kl

Setzt man nun diesen Werth in die Gleichung

ki a 4-il a — 2ki . il cos. « = kl*,so ist ki* + il*—2ki . il . cos. “ = ^i - dk a ,

db 1

und multipliciret auf beiden Seiten Mlt so lstdb» . db» ... . .. . db*

ki*

+ 1* . ggj— (2ki . il . cos. «)

ba»

- dk*

db

— nr.il

db

— n und dk = z

ba*

Setzet man ki . ,

ba ba

so entstehet nach gehöriger Substitution rn*-s-n —2»in . cos. a-i-z bedeutet natürlich hier den Abstand der Orte a und b, für den Halbmesserai=bi. Es folgt hieraus, daß diese Sehne z, eines geradlinigen Dreiecksdritte Seite seyn würde, dessen andere beiden Seiten die Werthe nr und nhätten und der eingeschlossene Winkel — « sey.

Diese Sehne nun auf dem Papiere zu bestimmen, entwerfe man, nacheinem 1000theiligen Maßstabe, jenes Dreieck, so ist die dritte Seite nacheben diesem Maßstabe gemessen, die Sehne des Bogens ab; diesen halbiret,gibt den Sinus des Bogens für den Halbmesser 1000, den man darnach inden Tabellen aufzuschlagen hat.

Um nun durch Eonstruction die Werthe von m und n, als die beidenSeiten des Dreiecks, die den Winkel a einschließen, zu finden, so bedenkeman, daß in dem rechtwinklichcn Dreiecke dik der Winkel idk — cda, einWinkel am Umfange ist, der also den halben Bogen ca oder den halben Ab-stand des Ortes a vom Pole c, zu seinem Maße hat. Auf diese Weise istauch in dem rcchtwinklichen Dreiecke idl, das Maß des Winkels idl — cdbgleich einem halben Bogen cb. Diese Winkel cda und cdb sind aber das,was in der vorigen sphärisch-trigonometrischen Formel | x und | y waren,da sich nun die rechten Winkel am Mittelpuncte i befinden, so hat man indem Dreiecke dik, wenn der Halbmesser—1 gesetzt wird:

ik = tang, idk = taug. x x—

sm.

cos.

x