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Berechnung der Flächen

Protokolle mit zu unterzeichnen als die Grenzzeichen wirklich auf die sorg«,fchriebencn Plätze gekommen sind. Ich erwähne dieses hier, weil sehr oftder Fall eintritt, daß solche Protokolle von dem Geometer — wenn er auchnicht besonderer Commiffarius des Geschäfts ist — in Solidum unterzeichnetwerden, und er sich dadurch für die Richtigkeit anderer Gegenstände des Pro-tokolls, als z. B. die Anwesenheit aller Grenznachbarn rc. verantwortlichmacht.

Berechnung der Flächen. Die Geometrie lehrt, daß die Flächen,inhalte der erheblichsten Figuren folgendermaßen gefunden werden:

1) beim Dreieck, wenn die Grundlinie mit der halben Höhe multi-pliciret wird. Es ist dafür £ ah die allgemeine Formel, wo a die Grund-linie und h die Höhe bezeichnet. Beim rechtwinklichen Dreieck ist der Flä-cheninhalt gleich dem halben Produkte der beiden Katheten a unb b = ^ ab.

Zusatz.

Zuweilen ist es unmöglich die perpendikulare Höhe des Dreiecks zu be-stimmen, man findet dann aus den gemessenen drei Seiten den Inhalt desDreiecks, wenn man nach folgender Formel rechnet:

£Y~(a-f-b-f.c).(a-f-b — c).(c-)-b — a).(c + a — b)d. h. man addire alle drei in Maß gefundene Seiten zusammen; man addireferner jede zwei Seiten und ziehe von ihrer Summe die dritte ab, wo mattdrei solcher Reste erlangen wird; alle diese Summen multiplicire man durcheinander und nehme endlich den vierten Theil der Quadratwurzel derselben.

Um das Verfahren dieser Formel zu beweisen, setze man, die zur Grund-linie angenommene Seite des Dreiecks AB sey — b, die andere Seite BC= c, die dritte AC = a Fig. 16. Die Höhe CD sey—y. Der eine Abschnitt,den die Perpendikulare auf der Grundlinie macht, nemlich AD sey—x, derandere ergibt sich dann, und ist — AB —AD —b —x. Da nun bekanntlichdas Quadrat CD gleich den Quadraten von AC — AD, so ist:

CD--AC-—AD- d. i. y 2 = a 2 — x 2 ;

auch — c a — (b — x) 2 ;

= c 2 —b 2 +2bx —x 2 ;

demnach a 2 — x 2 =c 2 —b 2 +2bx—x ;

a 2 + b 2 — c 2 (*)und dann X—--r-•

Da nun CD 2 = AC 2 — AD 2 d. i. y 2 = a 2 — x 2 ;statt x den Werth aus (») substituiret,

so ist f

2a 2 b 2 +2a 2 c 2 +2b 2 c 2 — a 4 —b 4 — c 4 '

4P

■)

= $bl" ((a + b + c).(b + c — a).(a + c — b).(a+b — c))und dieses dann mit der halben Grundlinie multipliciret, Inhalt des Dreiecks

*br (( a + b + c ).( b + ° — a).(a + c— b).(a + b — c))

= jy^(a + b —c).(b-fc —ab(a + c —b).(a + b—c)^

Ist a=b = c, ist nämlich das Dreieck gleichseitig, so reduciret sich obigeFormel auf

2) Der Inhalt eines Quadrats, dessen Seite a ist, ist gleich dieser Seitemit sich selbst multipliciret — a 2 .