Berechnung der Flächen

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3) der jede« andern Parallelogramm ergibt sich au« dem Produkteder Grundlinie und Höhe. Wenn a und h Grundlinie und Höhe bezeichnen,so ist der allgemeine Ausdruck dafür all.

4) Die Cirkelfläche wird berechnet, wenn man das Produkt aus dem Um'-kreise x und Halbmesser a durch 2 dividiret — ^ ap.

Anmerkung.

Berechnungen von elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Figurensind kein Gegenstand der Erd - und Landmeßkunst.

5 ) Jedes andere reguläre Bielcck mit bloß ausspringcnden Winkeln,wird im Flächenmaße gefunden, wenn man den Inhalt eines der Dreiecke,in die das Vieleck von dem Mittelpunkte der Figur aus getheilt ist, mit döcAnzahl der Seiten des Vielecks multipliciret. Drückt A die Anzahl derSeiten aus und 4 all den Inhalt eines der Dreiecke, so ist | Aah der In-halt des Vielecks.

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Seite — a, istJa 3 r(l + ?r5); denn es ist die Senkrechte im Fünfeck—?a>''(i-|-fT5)folglich gibt eines der Dreiecke der Figur den Inhalt ia.iay .i + jlsü)und alle fünf Dreiecke geben daher ein Produkt von £a 3 ir(i-f-| -'S).Ferner ist beim Sechseck dcriJnhall—fa 3 y3, da die dazu gehörige Senk-rechte— Hayg ist. — Der Inhalt des Achtecks gibt 2 a 3 (1+K2); desZehnecks-Za»y( 5 -f- 2 y 5 ) und endlich des Zwölfecks-Za 3 (2 + T3).

6) Der Flächeninhalt eines Trapez» ist gleich dem halben Produkte der

zwei parallelen Seiten a und b in ihren Abstand c t—. c. .

7) Jedes andern Vierecks Inhalt ist gleich dem halben Produkte aus ei-ner Diagonale in die Summe der Abstände der zwei entgegengesetzten Win-kel-, denn man gedenke sich das Viereck in Fig. 17. durch die Diagonale achin die zwei Dreiecke aeck und abd getbeilt, so ist des ersten Dreiecks In-halt- Jad.ec und das des andern— *ad. bf, abbitct = Jad (ec-fbf).

8) Bestehet der Umfang einer irregulären geradlinigen Figur aus aus-und eingehenden Winkeln, so theilet man selbige durch Diagonalen in lau-ter Dreiecke ab, fällt bei jedem Dreiecke die nöthige Perpendikulare, berech-net dann die Inhalte derselben und addiret diese zusammen, so gibt die Sum-me den Flächeninhalt der gesummten Figur.

Es sey z. B. in Fig. 18 . der Flächeninhalt abcdefga zu bestimmen.Man ziehe die Diagonalen bg, bf, fc und df, fälle die Perpendikulare«all, fi, bk, dl und em, so ist;

£m|=!Ö: fi h Hhg ( ah+fi)

Abcf = 4cf.bkj , i ji \

Acdf = Icf.dl}=' 3cf ( bk + dI >

ig def=£ df. em

Demnach Fig. abcdefga = ybg( ab -f-fi)+ ? cf (bk-|-dl)-J-Jdf, em_bg ( ab -f- fi) -f. cf ( bk -)- dl) -(- df. em

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Anmerkung.

Die letztere Abkürzung der Formel.konnte vorgenommen werden, da jedezwei und zwei aneinander stoßende Dreiecke eine gemeinschaftliche Grundliniehaben, und nur das letztere Dreieck des hiervon eine Ausnahme macht,.

Die Art dieser Berechnung hat das Bequeme, daß die nöthigen Masseunmittelbar in der Ratur abgenommen werden können. Bei Erwähnung desFenelonschen Spiegellineals wird gezeigt werden, wie sich mittelst desselben,die Perpendikularen, oder vielmehr die Punkte, wo selbige in die zugehöri-gen Grundlinien einschneiden, gefunden werden können.

9) Wichtiger wird aber noch die Berechnung solcher Figuren, deren Uiy-ftng auf kein bestimmtes Gesetz gerichtet ist, ja öfters aus geraden und ge-