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Berechnung der Fläche»

bogenen Linken bestehet und wobei alle nur immer zu ziehende Abszissen undOrdinaten nicht nach bestimmten Regeln der Geometrie gefunden werden kön-nen, sondern man sich begnügen muß, den Inhalt nur Näherungsweise zuerlangen.

Es kommt hierbei auf zweierlei an, einmal, daß man eine Formel su-che, nach der die Berechnung der Figur möglichst nahe gesunden werden kann,dann aber auch, daß diese Formel leicht und bequem in der Ausführung sey.Beides wird auf folgende Weise möglichst erreicht werden.

Es stelle acegilnomkhfdba Fig. 19 . die auszurechnende Fläche vor,man ziehe die Linien cd, es, gh, ik k. mit ab parallel, so theilt sich da-durch das Vieleck in sechs Trapezien ab und nun lege man noch durch allediese Parallelen die Perpendikulare yz. Geben wir nun zur schnellern Ue-bersicht den Seiten der Trapezien, wie sie in der Figur auf einander folgen,so wie den Perpendikularen, jedesmal vom Anfangspunkte an gerechnet, eineallgemeine Bezeichnung, und nennen

ab —a; xp = a;

cd=bj xcj = b;

es— q; xr = c;

gli=d; * s =b»

ik = e; xt — e;

Iwl —ku. xy—f;

nc > — g;

so sind die jedem Trapezio zugehörigen Höhen .

a, b —a, c —b, d —c, e —d und f—e.

Die Summe dieser Trapezien ist dann gleich~ (a-fb). , (b-fc).(b — q) , (c+d).(c — 6) . (d-fe).(b — Q

^ ”■* » ** * 1 ^ ^ 2

. (e+f).Ce—b) , (f+g).(t— t)

+ 2 + 2 —(a4-b')a+(h+cV(b-a)+(c+d).(c-6)+(d4-e).(b-c)+(e+f).(e-fc)+(f+g).(f- e >38 -- ' 2

Werden nun die einzelnen Multiplicationsparenthesen aufgelöst, so er-geben sich folgende Werthe:

(a4-b) a(b--e).(b —a)(c + d).(c -b)(d-J-e).(b — c)(e — f).(e —b)

(f + g)-(f—«)

— aa-l-ba;

=bb--c& —ba —ca;= cc - - dc — cb — db 5

= db 4- es — dc — ec >

— ee --fe —eb — kd;= s f +gf—fe—ge.

Dieses wieder unter die Form von 8 gebracht, so ist:

(1) (2) (1) (3) (2) (4) (3)

L — aa 4 -ba 4- bb -j- °b — ba — ca + cc+dc — eb — db + db+eb — dc — ee(5) (4) (5)

+ ee+Fe — e b — fb + ff+gf— ie — geDieses alles dividirt durd) 2.

Da nun die Werthe (1 und 1); (2 und 2); (3 und 3); (4 und 4) und(S und 5) sich tilgen, so wird dann noch für 3 bleiben:

aa-s-b>b — ca -f-cc — db-|~ db — ec+ee — id-s-if-s-gf — ge

~ 2

Stellt man nun noch die Größen, die einerlei Factoren haben, zusam-men. so ergibt sich endlich

(a— C)tt+(b — d)b + (c — e)c+(d- f )b-f (e — g)t-f (f+g)f

S ~ - 2