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d’employer la méthode suivante, qui s’applique également à des courbes soumises ou non à la

loi de continuité.

Considérons l’espace compris entre la ligne A(') A( 5 ) AW.(PI. XII, fig. 14)

qu’on regardera comme l’axe des abeisses, et la courbe MC) MW M( C.. dont

la concavité est tournée du côté de cet axe, et proposons-nous de trouver d’abord l’expres-sion de l’aire de cet espace. On partagera la portion de l’axe qui répond à l’espace que l’onveut évaluer en un nombre pair de parties égales, et, par chacun des points de division, onélèycra une ordonnée. Plus les ordonnées seront rapprochées, et moins l’expression trouvéedifférera de la vérité. En regardant l’intervalle répondant à deux divisions comme appartenantà une portion de parabole, on trouvera pour l’expression générale de l’aire dont il s’agit

(yW 4-4ÿ(‘)+( 5 ) + % +.+ 2/W )i h ’

n étant un nombre impair, qui indique le nombre total des ordonnées.

Quant à la distance du centre de gravité d’un espace semblable à l’une quelconque desordonnées, à A(') M( l ) par exemple, cette distance est exprimée par

oyl 1 )—[- 1. f-2. 2y( s ) —3 4y( 4 )—4. 2y( 5 )—f- ...... -j— (?& — 1) y( n )^

yC) -f- 4yW -f- 2y(s) 4- 4ÿ(«> -f- 2?/( 5 ) -f-.+ ÿ(") 5 '

formule dans laquelle le numérateur n’est autre chose que la somme des termes du dénomina-teur multipliés par la suite des nombres naturels 0, 1, 2, 3, 4, etc.

On peut encore obtenir l’expression approchée de l’aire, ou de la distance du centre degravité d’une figure plane, d’une manière plus simple, et qui n’est guères moins exacte, ensubstituant au trapèze mixtiligne AO) MO) MO) A( 3 )un rectangle ayant AO) AO) pour base, etl’ordonnée intermédiaire AO) MO) pour hauteur; et ainsi des autres. Alors, en conservant lesdénominations précédentes, et supposant toujours que n représente le nombre impair desordonnées équidistantes, la valeur de l’aire de la figure sera exprimée par

2 h (yW+yW-f y( 6 )-f.-f y(M).

et la distance du centre de gravité à la première ordonnée par

h *• yO)+ 5 yW + syO) +.+( w ~ 2 ) yfr- 1 ) .

yW4-y:o)-fO) +.y(«-->)

Ces dernières expressions supposent le calcul d’un nombre de termes deux fois moins grand-On peut voir dans les Exercices de calcul intégral deM. Legendre, Tome i, pag. 308, la dé-monstration et la discussion analytique de ces formules, les corrections qu’elles exigent, et lesprécautions qu’en comporte l’emploi lorsque les courbes ont des points singuliers entre lesordonnées extrêmes.

Au moyen des formules précédentes, on obtiendra facilement les aires et les positions descentres de gravité des différentes parties de la voûte. Mais quoique les méthodes qu’on vientd’exposer abrogent considérablement les calculs, principalement pour les voûtes en anse depanier décrites avec un grand nombre d’arcs de cercle, ces calculs seraient encore très longssi on s’astreignait à chercher rigoureusement les valeurs des ordonnées qui entrent dans les for-