§• 19.

BRECHUNG IM PRISMA.

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(der Strahl ß soll ja von A unterschieden sein), so kann man alle Gleichungendurch eine der Unbekannten X|, welche nicht Null wird, dividiren, und die (2m —/)anderen Unbekannten dividirt durch xi als neue Unbekannte betrachten. Dann hatinan im Gleichungen mit 2m —/Unbekannten, so dass, wenn man die letztereneliminirt, noch eine Gleichung übrig bleibt, in welcher die Grössen x,, y t bis x,„, y mnicht mehr Vorkommen, sondern nur noch die partiellen zweiten Differcntialquoticntenvon Diese letzte Eliminationsgleichung, in welcher die Determinante der

Gleichungen 4) gleich Null gesetzt wird, ist die gesuchte Gleichung für die Lageder Brennpunkte.

Die Determinante der Gleichungen 4) ist nach bekannten Regeln 1 leicht zubilden. Sie ist eine Summe von Gliedern, deren erstes das Product:

d 1 d s d-V <P 'l J d' 1 I 1 dp X V

dx t ■ dx x dy t dy , dx 2 ■ dx 2 ' dx m • dx m dy m ■ dy m

Die übrigen Glieder der Summe erhält man, indem man in den Nennern der Dille-rentialquotienten, welche Productc je zweier Factorcn sind, alle ersten Factorenunverändert lässt, mit den zweiten aber alle möglichen Variationen bildet, und sooft man dabei zwei dieser Factorcn mit einander vertauscht, auch das Vorzeichendes Gliedes wechseln lässt.

Nach der Bezeichnungsweise der Variationsrechnung ausgedriiekt, wird alsodie Lage eines Strahls gefunden zwischen seinem Anfangs- und Endpunkt durchdie Bedingung, dass die erste Variation seiner optischen Länge gleich Null sei.Und sein Anfangs- und Endpunkt sind zusammengehörige Brennpunkte, wenn diezweite Variation der optischen Länge auch gleich Null gemacht werden kann. Imletzteren Falle ist diese Länge nicht nothwendig ein Maximum oder Minimum.

Brechung im Prisma.

Wir denken die Lage des leuchtenden Punktes durch drei rechtwinkelige Coor-dinaten a, b, c gegeben, so dass die Axc der c mit der brechenden Kante, dieEbene der bc mit der ersten brechenden Fläche zusammcnfällt, und die positiven aausserhalb des Prisma liegen. Für den Einfallspunkt des Strahles auf dieser Flächesei a = 0, 6 = ij , c = z. Ebenso denken wir einen Punkt des aus dem Prismagetretenen Strahls durch drei rechtwinkelige Coordinaten u, ß, y gegeben, dieeinem zweiten Systeme angehören, dessen yAxe wieder mit der brechenden Kante,dessen ßy Ebene aber mit der zweiten brechenden Fläche zusammenfällt, und dessenpositive u ebenfalls ausserhalb des Prisma liegen. Die y sollen von demselbenPunkte der Kante ab gemessen werden wie die c, so dass also die ab Fläche desersten Systems mit der uß Fläche des zweiten identisch ist. Für den Austritts-punkt des Strahles aus dem Prisma sei « = 0, ß=v, y = £. Der brechendeWinkel des Prisma sei cp t das Brechungsverhältniss der Substanz des Prisma gegendas äussere Medium sei n. Die Länge des Strahls vor dem Prisma sei r 0 , die imPrisma r ,, hinter dem Prisma die optische Länge des ganzen Strahls W, so ist

r 0 — V« 2 4- (b — yf -+- (c — zfr, = V;i/ 2 — 2yv cos <p -+- o 2 -+- (:—Cf

r t = V« 2 -H(/?—«)* + (/ —Cj*

= f 0 + n>\ + r 2

S. Jacoüi in Cbelle's Jour», lur .Math. XXII.