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ZWEITER ABSCHNITT. DIE LEHRE VON DEN IIESICIITSEMPEINDUNGEN.
§• io.
Allgemeine analytische Bedingung für die Lage der Brennpunkte.
Wir wollen die optische Länge zweier unendlich naher Strahlen A und II vonihrem gemeinsamen Ausgangspunkte au bis zu einem Brennpunkte hin, wo sie nachbeliebig vielen Brechungen an beliebigen brechenden Flächen von continuirlicherKrümmung wieder Zusammentreffen, ‘Fund WJ W nennen. Die Coordinaten-systeme, nach denen wir die Punkte in den einzelnen brechenden Flächen bestim-men, werden wieder so gedacht, dass ihre zA\c mit den dem Strahle A unge-hörigen Eintällslothcn zusammenfällt, und ihre xy Ebene die brechende Fläche tangirt.
Die Coordinaten der Eintällspunkte des Strahles H seien in der ersten Fläche
x n y l , in der zweiten x 2 , y 2 , ; 2 u. s. w., in der mten x,„, y m , z,„. Es wirdindessen im Folgenden vorausgesetzt, dass die optischen Längen ausgedriiekt sindals Function der x und y allein, und die z, welche selbst wieder Functionen vonx und y sind, aus diesen Werthen climinirt sind; da übrigens die Strahlen A und Bunendlich nahe sein sollen, werden die Grössen cc,, y x bis x,„, y m als unendlichklein betrachtet.
Nach dem TwLOR'schen Satze ist alsdann
W -I- J W
, Tt d W d l F d W
F + -— x. -1- — x, -L- etc. -I -— x mdx, ' dx. 2 dx m
dW d l F
dy , ?/l + d !h 2/2
. , d l P
dyj m -
Es müssen nun beide Strahlen den im ersten Lehrsätze ausgesprochenen Bedin-gungen genügen, d. h. die ersten Dillercntialquotienten von W und von W~\~dWnach x t , y t , x- 2 , i/ 2 etc. x m , y m genommen müssen gleich 0 sein. Dies giebt fürden ersten Strahl
,1ip ,! ‘P ,1 >P
0,
0
und mit Berücksichtigung dieser Gleichungen für den zweiten Strahl folgendesSystem von Gleichungen
dW _dx,
0,
dW _dx. 2
d w
etc. — —
CL
dW
o ,
dW
etc. -- =
dy I ~
dy t
dy,»
(PWdx 2
d 2 W
x, -+-
dy dx Xl
d 2 Wdx m dx i
d 2 W
djjm dx 1 x '
x, H-
-F-
_£¥_dx t dy,(PW
d u'i<P w
dx m (ly,
(pW
dy m dy 1
2 /,
+- etc. -|-4- etc. -f-
etc.
- y, -I- etc. -|-y l -f- etc. -F-
(P W
dx, dx m
(PW
dy, dx,,,
(PWdx{ n(PWdy m dx,,
x,„
-h
OCjn
•%ir
-b
(PW
dx, (ly,,
(P W
dy , dy„,
(PW
dx», dy,
(PW
dy»,
Um — 0
2/m = 0 j
-y m = o
I
2/m = 0
Die Anzahl der Glieder in diesen Gleichungen vermindert sich übrigens dadurchu , d 2 W d 2 W d 2 W
beträchtlich, dass --— und -- und - gleich Null werden, so oft
UxfdXg dxf d y,j dyfdyg
die Indices f und y um mehr als Eins verschieden sind.
Die Zahl unserer Gleichungen ist 2 m und sie enthalten 2m Unbekannte x,, y,bis x m , y m . Da indessen nicht alle diese Unbekannten gleich Null werden dürfen